mirror of
https://github.com/kuhyx/praca_magisterska.git
synced 2026-07-04 13:43:05 +02:00
347 lines
21 KiB
Markdown
347 lines
21 KiB
Markdown
## PYTANIE 31: Interaktywne wspomaganie decyzji w warunkach ryzyka
|
||
|
||
**Przedstawić metody interaktywne.**
|
||
|
||
---
|
||
|
||
### Tło pojęciowe — słowniczek
|
||
|
||
**Decyzja (decision)** — wybór jednej opcji spośród co najmniej dwóch dostępnych alternatyw. W teorii decyzji to pojęcie formalne: mamy zbiór alternatyw $A = \{a_1, a_2, \dots, a_n\}$ i musimy wybrać „najlepszą" według pewnego kryterium.
|
||
|
||
Przykład: „Kupić mieszkanie A za 400k, mieszkanie B za 350k, czy wynajmować?"
|
||
3 alternatywy → 1 decyzja.
|
||
|
||
**Wspomaganie decyzji (decision support)** — dziedzina nauki o dostarczaniu decydentowi narzędzi, metod i modeli matematycznych, które pomagają mu podjąć lepszą (bardziej uzasadnioną) decyzję. NIE podejmujemy decyzji za niego — pomagamy mu zrozumieć problem, porównać alternatywy i ocenić ryzyko. Efekt: decydent podejmuje decyzję ŚWIADOMIE, znając konsekwencje.
|
||
|
||
Bez wspomagania: „Czuję, że auto A jest lepsze" (intuicja)
|
||
Ze wspomaganiem: „Auto A wygrywa 4 z 5 kryteriów, ale przegrywa ceną o 30%" (analiza)
|
||
|
||
**Warunki (conditions)** — w teorii decyzji „warunki" oznaczają POZIOM WIEDZY decydenta o konsekwencjach swoich wyborów. Nie chodzi o warunki atmosferyczne — chodzi o to, ile wiemy o przyszłości w momencie podejmowania decyzji.
|
||
|
||
**Ryzyko (risk)** — w potocznym języku „ryzyko" = zagrożenie. W teorii decyzji ma PRECYZYJNE znaczenie: sytuacja, w której znamy WSZYSTKIE możliwe wyniki każdej alternatywy ORAZ znamy ich PRAWDOPODOBIEŃSTWA. To kluczowe — ryzyko ≠ niepewność!
|
||
|
||
Ryzyko: „Rzut kostką — wiem, że P(6) = 1/6, P(nie 6) = 5/6"
|
||
Niepewność: „Nowy produkt na rynku — nie wiem nawet jakie są możliwe wyniki"
|
||
|
||
**Warunki ryzyka (conditions of risk)** — kontekst decyzyjny, w którym decydent zna możliwe scenariusze (stany natury) i ich prawdopodobieństwa, ale NIE wie, który scenariusz się zrealizuje. To środek spektrum między pewnością a niepewnością.
|
||
|
||
Stan natury S₁ (p=0.6) Stan natury S₂ (p=0.4)
|
||
──────────────────────────────────────────────────
|
||
Alternatywa A: +100 zł −50 zł
|
||
Alternatywa B: +30 zł +20 zł
|
||
|
||
E[A] = 0.6×100 + 0.4×(−50) = 40 zł ← wyższa średnia, ale ryzyko straty
|
||
E[B] = 0.6×30 + 0.4×20 = 26 zł ← niższa średnia, ale bezpieczna
|
||
→ Który wybrać? Zależy od PREFERENCJI decydenta wobec ryzyka!
|
||
|
||
**Metoda (method)** — w kontekście wspomagania decyzji: sformalizowany, powtarzalny algorytm (procedura krok po kroku), który prowadzi od danych wejściowych (alternatywy, kryteria, preferencje) do wyniku (ranking, wybór, klasyfikacja). Metoda musi być obiektywna i odtwarzalna — dwóch analityków z tymi samymi danymi dostaje ten sam wynik.
|
||
|
||
**Interaktywność (interactivity)** — cecha metody polegająca na DIALOGU z decydentem w trakcie procesu. Zamiast wymagać od decydenta podania WSZYSTKICH preferencji z góry (co jest trudne — ludzie nie znają swoich preferencji precyzyjnie), metoda interaktywna zadaje pytania krok po kroku i uczy się preferencji stopniowo.
|
||
|
||
Metoda NIEinteraktywna (a priori):
|
||
1. Decydent podaje wszystkie wagi/preferencje → [CZARNA SKRZYNKA] → wynik
|
||
Problem: „Skąd mam wiedzieć, że cena jest 3× ważniejsza od komfortu?"
|
||
|
||
Metoda interaktywna:
|
||
1. System: „Wolisz A czy B?" → Decydent: „A"
|
||
2. System: „A jest tańsze, ale mniej komfortowe. Ile komfortu poświęcisz za cenę?"
|
||
3. Decydent: „Hmm, dużo" → System aktualizuje model preferencji
|
||
4. System: „To może C? Tanie i w miarę komfortowe" → ...
|
||
→ Iteracyjne dochodzenie do najlepszej decyzji
|
||
|
||
**Interaktywne wspomaganie decyzji (interactive decision support)** — połączenie obu pojęć: pomagamy decydentowi wybrać najlepszą alternatywę przez DIALOG — zadajemy mu pytania o preferencje (np. „Wolisz X na pewno czy loterię Y?"), aktualizujemy model matematyczny, i proponujemy rozwiązanie. Proces powtarza się aż decydent jest usatysfakcjonowany.
|
||
|
||
Cykl interaktywnego wspomagania:
|
||
┌──────────────────────────────────────────┐
|
||
│ 1. System proponuje pytanie/loterię │
|
||
│ 2. Decydent odpowiada (preferencja) │
|
||
│ 3. System aktualizuje model U(x) │
|
||
│ 4. System proponuje rozwiązanie │
|
||
│ 5. Decydent akceptuje? → TAK → KONIEC │
|
||
│ → NIE → wróć do 1│
|
||
└──────────────────────────────────────────┘
|
||
|
||
**Metody interaktywne (interactive methods)** — konkretne algorytmy realizujące interaktywne wspomaganie decyzji. W kontekście tego pytania są to KRYTERIA DECYZYJNE stosowane gdy decydent nie zna prawdopodobieństw stanów natury (lub je zakłada). Interaktywność polega na tym, że decydent WYBIERA kryterium (a w przypadku Hurwicza — także parametr α), co wymaga dialogu o jego postawie wobec ryzyka.
|
||
|
||
Kryterium Pytanie do decydenta / założenie
|
||
──────────────────────────────────────────────────────────────────
|
||
Wart. oczekiwana „Znasz prawdopodobieństwa stanów?" (potrzebne p)
|
||
Laplace'a „Każdy stan natury równie prawdopodobny" (założenie)
|
||
Optymistyczne „Zawsze liczysz na najlepszy scenariusz?" (postawa)
|
||
Pesymistyczne „Chcesz zabezpieczyć się przed najgorszym?" (postawa)
|
||
Hurwicza „Podaj swój współczynnik optymizmu α ∈ [0,1]" (parametr)
|
||
Savage'a „Chcesz minimalizować żal z podjętej decyzji?" (postawa)
|
||
|
||
---
|
||
|
||
**Warunki decyzyjne** — trzy poziomy wiedzy o przyszłości, w których podejmujemy decyzje:
|
||
|
||
Pewność (certainty) → znamy dokładny wynik każdej decyzji
|
||
Ryzyko (risk) → znamy możliwe wyniki I ich prawdopodobieństwa
|
||
Niepewność (uncertainty) → nie znamy prawdopodobieństw
|
||
|
||
Przykład ryzyka: „Z 60% szansą zysk 100 zł, z 40% strata 50 zł." Przykład niepewności: „Możemy zyskać lub stracić, ale nie wiemy ile i z jakim prawdopodobieństwem."
|
||
|
||
|
||
|
||
---
|
||
|
||
**Decydent (decision maker)** — osoba lub podmiot, który musi wybrać jedną z dostępnych alternatyw. Metody interaktywne wymagają dialogu z decydentem — pytamy go o postawę wobec ryzyka (optymista? pesymista?) i ew. parametry (α Hurwicza).
|
||
|
||
**Stan natury (state of nature)** — scenariusz/sytuacja zewnętrzna, na którą decydent NIE ma wpływu. Np. pogoda, koniunktura gospodarcza, zachowanie konkurencji. Oznaczamy S₁, S₂, …, Sₙ.
|
||
|
||
Stany natury: S₁ = „dobra koniunktura", S₂ = „zła koniunktura"
|
||
Decydent NIE wybiera stanu — stan „się zdarza".
|
||
|
||
**Macierz wypłat (payoff matrix)** — tabela, w której wiersze = alternatywy (decyzje), kolumny = stany natury, a komórki = wyniki (wypłaty). To podstawowa struktura danych dla WSZYSTKICH kryteriów decyzyjnych.
|
||
|
||
Przykład — macierz wypłat (zyski w tys. zł):
|
||
S₁ (dobra) S₂ (średnia) S₃ (zła)
|
||
─────────────────────────────────────────────────────
|
||
A₁ (fabryka) 200 50 −100
|
||
A₂ (sklep) 80 70 40
|
||
A₃ (obligacje) 30 30 30
|
||
|
||
A₁ może dać 200k, ale też stratę 100k.
|
||
A₃ daje 30k niezależnie od stanu → decyzja bezpieczna.
|
||
|
||
**Wartość oczekiwana E[X] (expected value)** — średni wynik ważony prawdopodobieństwami stanów natury. Używana w kryterium wartości oczekiwanej (gdy znamy prawdopodobieństwa) i w kryterium Laplace'a (z równymi prawdopodobieństwami).
|
||
|
||
E[X] = Σ pᵢ × xᵢ
|
||
|
||
Przykład z PRAWDZIWYMI prawdopodobieństwami (p₁=0.5, p₂=0.3, p₃=0.2):
|
||
E[A₁] = 0.5×200 + 0.3×50 + 0.2×(−100) = 100 + 15 − 20 = 95 ← MAX
|
||
E[A₂] = 0.5×80 + 0.3×70 + 0.2×40 = 40 + 21 + 8 = 69
|
||
E[A₃] = 0.5×30 + 0.3×30 + 0.2×30 = 15 + 9 + 6 = 30
|
||
|
||
Dla Laplace'a (równe prawdopodobieństwa, p₁ = p₂ = p₃ = 1/3):
|
||
E[A₁] = (200 + 50 + (−100)) / 3 = 150/3 = 50
|
||
E[A₂] = (80 + 70 + 40) / 3 = 190/3 ≈ 63.3 ← najlepsza wg Laplace'a
|
||
E[A₃] = (30 + 30 + 30) / 3 = 30
|
||
|
||
**Kryterium wartości oczekiwanej (expected value criterion)** — NAJPROSTSZA metoda decyzyjna W WARUNKACH RYZYKA (gdy znamy prawdopodobieństwa). Oblicz E[Aᵢ] = Σⱼ pⱼ × aᵢⱼ dla każdej alternatywy i wybierz tę z NAJWYŻSZĄ wartością oczekiwaną.
|
||
|
||
Formuła: V(Aᵢ) = Σⱼ pⱼ × aᵢⱼ → wybierz Aᵢ z max V(Aᵢ)
|
||
|
||
Przykład (p₁=0.5, p₂=0.3, p₃=0.2):
|
||
V(A₁) = 0.5×200 + 0.3×50 + 0.2×(−100) = 95 ← MAX → wybieramy A₁
|
||
V(A₂) = 0.5×80 + 0.3×70 + 0.2×40 = 69
|
||
V(A₃) = 0.5×30 + 0.3×30 + 0.2×30 = 30
|
||
|
||
Kluczowa różnica od Laplace'a:
|
||
- Laplace: ZAKŁADA p = 1/n (bo nie znamy prawdopodobieństw)
|
||
- Wart. oczekiwana: UŻYWA PRAWDZIWYCH p (bo je znamy!)
|
||
|
||
Przykład życiowy: firma rozważa inwestycję
|
||
- Analityk oszacował: P(boom) = 50%, P(stabilna) = 30%, P(kryzys) = 20%
|
||
- Fabryka wygrywa (E=95k), bo wysoki zysk w boomie (200k) × duże p (50%)
|
||
przeważa nad stratą w kryzysie (−100k) × małe p (20%)
|
||
|
||
Ograniczenie: E[X] ignoruje ROZRZUT wyników! A₁ ma E=95k, ale może
|
||
dać −100k. Decydent z awersją do ryzyka może wolę A₂ (E=69k, ale
|
||
minimum 40k). Dlatego sam E[X] nie wystarczy — potrzeba też analizy
|
||
ryzyka (np. wariancji, worst-case).
|
||
|
||
Mnemonik: „Średnia ważona — jak średnia ocen"
|
||
Wynik × prawdopodobieństwo = waga.
|
||
Sumuj wagi → E[X]. Jak w dzienniku: 5×0.3 + 4×0.5 + 2×0.2 = 3.9
|
||
|
||
|
||
|
||
---
|
||
|
||
**Kryterium decyzyjne (decision criterion)** — reguła/algorytm, który z macierzy wypłat wyznacza „najlepszą" alternatywę. Każde kryterium odzwierciedla INNĄ postawę decydenta wobec ryzyka. Dlatego to samo zadanie może dać INNE odpowiedzi zależnie od wybranego kryterium — i to jest OK.
|
||
|
||
Te same dane, różne kryteria → różne „najlepsze" decyzje:
|
||
Kryterium Wygrywa Dlaczego?
|
||
─────────────────────────────────────────────────────
|
||
Wart. oczekiwana A₁ (95) najwyższa E[X] z prawdziwymi p
|
||
Laplace A₂ (≈63) najwyższa średnia (równe p)
|
||
Optymistyczne A₁ (200) najwyższy max
|
||
Pesymistyczne A₂ (40) najwyższy min (bezpieczne)
|
||
Hurwicz (α=0.6) A₁ (80) kompromis
|
||
Savage A₂ (120) najniższy max żalu
|
||
|
||
|
||
|
||
**Kryterium Laplace'a (Laplace criterion / principle of insufficient reason)** — zakładamy, że WSZYSTKIE stany natury są RÓWNIE PRAWDOPODOBNE (bo nie mamy powodu faworyzować żadnego). Obliczamy średnią arytmetyczną wypłat dla każdej alternatywy i wybieramy najwyższą.
|
||
|
||
Formuła: V(Aᵢ) = (1/n) × Σⱼ aᵢⱼ (n = liczba stanów natury)
|
||
|
||
Przykład z macierzy powyżej (n=3):
|
||
V(A₁) = (200 + 50 + (−100)) / 3 = 50.0
|
||
V(A₂) = (80 + 70 + 40) / 3 = 63.3 ← MAX → wybieramy A₂
|
||
V(A₃) = (30 + 30 + 30) / 3 = 30.0
|
||
|
||
Interaktywność: decydent musi zaakceptować założenie równych
|
||
prawdopodobieństw — „Czy zgadzasz się, że każdy scenariusz
|
||
jest tak samo możliwy?"
|
||
|
||
Przykład życiowy: wybieram restaurację w nieznanym mieście.
|
||
Nie wiem, która dobra — traktuję je „po równo" i porównuję
|
||
średnią ocen z 3 portali (każdy portal = stan natury z p=1/3).
|
||
|
||
Mnemonik: „Laplace = Loteria — Losowe, ALE Po równo"
|
||
|
||
**Kryterium optymistyczne (maximax / optimistic criterion)** — decydent-OPTYMISTA: dla każdej alternatywy bierzemy NAJLEPSZY możliwy wynik (max w wierszu), potem wybieramy alternatywę z najwyższym z tych maksimów.
|
||
|
||
Formuła: V(Aᵢ) = maxⱼ aᵢⱼ → wybierz Aᵢ z max V(Aᵢ)
|
||
|
||
max(A₁) = max(200, 50, −100) = 200 ← MAX → wybieramy A₁
|
||
max(A₂) = max(80, 70, 40) = 80
|
||
max(A₃) = max(30, 30, 30) = 30
|
||
|
||
A₁ wygrywa — optymista liczy na najlepszy scenariusz (200k).
|
||
Ryzyko: jeśli S₃, to strata −100k!
|
||
|
||
Przykład życiowy: gracz w pokera, który zawsze idzie all-in,
|
||
bo „może trafię straight flush". Patrzy TYLKO na najlepsze
|
||
możliwe rozdanie. Ignoruje szansę przegranej.
|
||
|
||
Mnemonik: „Maximax = Marzyciel — Max z Max, bo MARZĘ o najlepszym"
|
||
|
||
**Kryterium pesymistyczne (maximin / Wald criterion)** — decydent-PESYMISTA: dla każdej alternatywy bierzemy NAJGORSZY możliwy wynik (min w wierszu), potem wybieramy alternatywę z najwyższym z tych minimów. Zabezpieczamy się przed najgorszym scenariuszem.
|
||
|
||
Formuła: V(Aᵢ) = minⱼ aᵢⱼ → wybierz Aᵢ z max V(Aᵢ)
|
||
|
||
min(A₁) = min(200, 50, −100) = −100
|
||
min(A₂) = min(80, 70, 40) = 40
|
||
min(A₃) = min(30, 30, 30) = 30
|
||
|
||
max{−100, 40, 30} = 40 → wybieramy A₂
|
||
Pesymista: „Nawet w najgorszym razie dostanę 40k" (A₂ jest bezpieczna).
|
||
|
||
Przykład życiowy: jadąc na wakacje, pesymista wybiera hotel z gwarancją
|
||
zwrotu, bo „a jeśli będzie brzydka pogoda?". Woli gwarantowany minimum
|
||
komfort niż ryzykować. Ubezpieczenia działają na tej zasadzie.
|
||
|
||
Mnemonik: „Maximin = Mur obronny — buduję MUR pod MINimum, bo zawsze
|
||
zakładam NAJGORSZE (Wald = Wall = Mur)"
|
||
|
||
**Kryterium Hurwicza (Hurwicz criterion)** — kompromis między optymizmem a pesymizmem. Decydent podaje współczynnik optymizmu α ∈ [0, 1], gdzie α = 1 to pełny optymista, α = 0 to pełny pesymista.
|
||
|
||
Formuła: V(Aᵢ) = α × maxⱼ aᵢⱼ + (1−α) × minⱼ aᵢⱼ
|
||
|
||
Dla α = 0.6:
|
||
V(A₁) = 0.6×200 + 0.4×(−100) = 120 − 40 = 80
|
||
V(A₂) = 0.6×80 + 0.4×40 = 48 + 16 = 64
|
||
V(A₃) = 0.6×30 + 0.4×30 = 18 + 12 = 30
|
||
|
||
max{80, 64, 30} = 80 → A₁ wygrywa dla α=0.6.
|
||
|
||
Dla α = 0.3 (bardziej pesymistyczny):
|
||
V(A₁) = 0.3×200 + 0.7×(−100) = 60 − 70 = −10
|
||
V(A₂) = 0.3×80 + 0.7×40 = 24 + 28 = 52 ← teraz A₂!
|
||
V(A₃) = 0.3×30 + 0.7×30 = 9 + 21 = 30
|
||
|
||
→ Zmiana α zmienia wynik! Dlatego TO kryterium jest najbardziej
|
||
interaktywne — decydent MUSI podać swoje α w dialogu.
|
||
|
||
Przypadki specjalne:
|
||
α = 1 → kryterium optymistyczne (maximax)
|
||
α = 0 → kryterium pesymistyczne (maximin)
|
||
|
||
Przykład życiowy: kupujesz akcje. Z α=0.8 (optymista) patrzysz głównie
|
||
na potencjalny zysk. Z α=0.2 (pesymista) prawie tylko na potencjalną
|
||
stratę. α to „pokrętło optymizmu" — kręcisz i widzisz jak zmienia
|
||
się rekomendacja.
|
||
|
||
Mnemonik: „Hurwicz = Huśtawka — huśtasz się między max a min,
|
||
α mówi jak daleko w stronę max się wychylasz"
|
||
|
||
|
||
|
||
**Współczynnik optymizmu α (optimism coefficient)** — parametr Hurwicza z przedziału [0, 1]. Wyraża postawę decydenta: α bliskie 1 = optymista (wierzy w dobre scenariusze), α bliskie 0 = pesymista.
|
||
|
||
α = 1.0 → patrzę tylko na max → maximax
|
||
α = 0.5 → równa waga max i min
|
||
α = 0.0 → patrzę tylko na min → maximin
|
||
|
||
---
|
||
|
||
**Macierz żalu / macierz strat (regret matrix)** — tabela, w której każda komórka zawiera ŻALE (regret) = ile TRACĘ wybierając daną alternatywę zamiast najlepszej w danym stanie natury.
|
||
|
||
Obliczanie: rᵢⱼ = maxₖ aₖⱼ − aᵢⱼ (max w kolumnie minus wartość w komórce)
|
||
|
||
Macierz wypłat: Macierz żalu:
|
||
S₁ S₂ S₃ S₁ S₂ S₃ max żalu
|
||
A₁ 200 50 −100 A₁ 0 20 140 140
|
||
A₂ 80 70 40 A₂ 120 0 0 120 ← MIN
|
||
A₃ 30 30 30 A₃ 170 40 10 170
|
||
|
||
maxₖ aₖ₁ = 200, maxₖ aₖ₂ = 70, maxₖ aₖ₃ = 40
|
||
r₁₁ = 200−200 = 0, r₁₂ = 70−50 = 20, r₁₃ = 40−(−100) = 140
|
||
r₂₁ = 200−80 = 120, r₂₂ = 70−70 = 0, r₂₃ = 40−40 = 0
|
||
r₃₁ = 200−30 = 170, r₃₂ = 70−30 = 40, r₃₃ = 40−30 = 10
|
||
|
||
**Kryterium Savage'a (minimax regret / Savage criterion)** — minimalizacja MAKSYMALNEGO ŻALU. Dla każdej alternatywy znajdujemy największy żal (max w wierszu macierzy żalu), potem wybieramy alternatywę z NAJMNIEJSZYM max żalem.
|
||
|
||
Formuła: V(Aᵢ) = maxⱼ rᵢⱼ → wybierz Aᵢ z min V(Aᵢ)
|
||
|
||
max żalu(A₁) = max(0, 20, 140) = 140
|
||
max żalu(A₂) = max(120, 0, 0) = 120 ← MIN → wybieramy A₂
|
||
max żalu(A₃) = max(170, 40, 10) = 170
|
||
|
||
Interpretacja: „Niezależnie co się zdarzy, mój żal nie przekroczy 120k"
|
||
(gdybym wybrał A₁, mógłbym żałować aż 140k; A₃ → aż 170k).
|
||
|
||
Przykład życiowy: wybieram studia. Po 5 latach zobaczę, jaki zawód
|
||
najlepiej zarabia. Żal = „ile bym zarobił na najlepszych studiach
|
||
minus ile zarabiam". Savage minimalizuje ten maksymalny żal —
|
||
wybieram studia, po których NIGDY nie będę żałować za bardzo.
|
||
|
||
Mnemonik: „Savage = Szał żalu — Savage to dziki (savage) żal,
|
||
więc go minimalizuję. Min z max żalu = trzymam żal na smyczy."
|
||
|
||
|
||
|
||
---
|
||
|
||
**Porównanie kryteriów — tabela zbiorcza:**
|
||
|
||
Kryterium Postawa Formuła Wymaga od decydenta
|
||
──────────────────────────────────────────────────────────────────────────────
|
||
Wart. oczekiw. racjonalna Σ pⱼ·aᵢⱼ podanie prawdopodobieństw
|
||
Laplace neutralna średnia wypłat akceptacja równych p
|
||
Optymistyczne optymista max z max nic (automatyczne)
|
||
Pesymistyczne pesymista max z min nic (automatyczne)
|
||
Hurwicza kompromis α·max + (1−α)·min podanie α ∈ [0,1]
|
||
Savage'a minimalizacja min z max żalu nic (automatyczne)
|
||
żalu
|
||
|
||
|
||
|
||
---
|
||
|
||
### Warunki: pewność (determinizm) → **ryzyko** (znane prawdopodobieństwa) → niepewność (brak prawdopodobieństw)
|
||
|
||
### Interaktywność = dialog z decydentem → odkrycie preferencji (funkcji użyteczności)
|
||
|
||
### Metody (kryteria decyzyjne)
|
||
|
||
**0. Kryterium wartości oczekiwanej (E[X]):** WYMAGA prawdopodobieństw stanów (warunki RYZYKA). Oblicz E[Aᵢ] = Σⱼ pⱼ·aᵢⱼ. Wybierz max. Ograniczenie: ignoruje rozrzut/ryzyko.
|
||
|
||
**1. Kryterium Laplace'a:** Załóż równe prawdopodobieństwa stanów (warunki NIEPEWNOŚCI). Oblicz średnią wypłat per alternatywa. Wybierz max średniej. Formuła: V(Aᵢ) = (1/n) × Σⱼ aᵢⱼ.
|
||
|
||
**2. Kryterium optymistyczne (maximax):** Dla każdej alternatywy weź max wypłatę. Wybierz alternatywę z max z tych max. Formuła: max maxⱼ aᵢⱼ.
|
||
|
||
**3. Kryterium pesymistyczne (maximin / Walda):** Dla każdej alternatywy weź min wypłatę. Wybierz alternatywę z max z tych min. Formuła: max minⱼ aᵢⱼ.
|
||
|
||
**4. Kryterium Hurwicza:** Kompromis: V(Aᵢ) = α × maxⱼ aᵢⱼ + (1−α) × minⱼ aᵢⱼ. Decydent podaje α ∈ [0,1]. α=1 → maximax, α=0 → maximin.
|
||
|
||
**5. Kryterium Savage'a (minimax regret):** Zbuduj macierz żalu (rᵢⱼ = maxₖ aₖⱼ − aᵢⱼ). Dla każdej alternatywy weź max żal. Wybierz alternatywę z min max żalu.
|
||
|
||
### Etymologia
|
||
|
||
**Wartość oczekiwana** — pojęcie z XVII w., Blaise Pascal i Pierre de Fermat (1654), formalizacja hazardu; „ile przeciętnie wygrasz?". **Laplace** — Pierre-Simon de Laplace (1749–1827), francuski matematyk; zasada niedostatecznej racji (principle of insufficient reason) — jeśli nie mamy powodu faworyzować żadnego stanu, traktujemy je jako równie prawdopodobne. **Wald** — Abraham Wald (1902–1950), matematyk z Wiednia; kryterium maximin = strategia minimax z teorii gier. **Hurwicz** — Leonid Hurwicz (1917–2008), laureat Nobla z ekonomii 2007 (z Myersonem i Maskinem, za mechanism design); zaproponował kompromis z parametrem α. **Savage** — Leonard Jimmie Savage (1917–1971), amerykański statystyk; kryterium minimax regret — minimalizacja żalu (1951, „The Foundations of Statistics").
|
||
|
||
### Jak zapamiętać
|
||
|
||
- **E[X] = „średnia ważona prawdopodobieństwami"** → jak średnia ocen w dzienniku, ale wagi to szanse
|
||
- **Laplace = „wszystko po równo"** → średnia arytmetyczna wypłat (Loteria — ALE Po równo)
|
||
- **Maximax = „marzyciel → max z max"** → najlepszy z najlepszych, ignoruje ryzyko
|
||
- **Maximin = „mur obronny → max z min"** → najlepszy z najgorszych (Wald = Wall = Mur)
|
||
- **Hurwicz = „huśtawka — α pomiędzy"** → α·max + (1−α)·min, kręcisz pokrętłem optymizmu
|
||
- **Savage = „szał żalu → min max żalu"** → macierz żalu → minimalizuj maksymalny żal (trzymaj żal na smyczy)
|
||
|