mirror of
https://github.com/kuhyx/praca_magisterska.git
synced 2026-07-04 13:43:05 +02:00
292 lines
15 KiB
Markdown
292 lines
15 KiB
Markdown
# Pytanie 42: Dominacja stochastyczna
|
||
|
||
## Pytanie
|
||
**"Scharakteryzować relacje dominacji stochastycznej pierwszego i drugiego rzędu. Jak mogą być użyte w modelach wyboru w warunkach ryzyka?"**
|
||
|
||
Przedmiot: WDWR (Wspomaganie Decyzji w Warunkach Ryzyka)
|
||
|
||
---
|
||
|
||
## 📚 Odpowiedź główna
|
||
|
||
### 1. Idea dominacji stochastycznej
|
||
|
||
```
|
||
┌─────────────────────────────────────────────────────────────────┐
|
||
│ DOMINACJA STOCHASTYCZNA (Stochastic Dominance) │
|
||
├─────────────────────────────────────────────────────────────────┤
|
||
│ │
|
||
│ Cel: Porównać rozkłady prawdopodobieństwa (loterie) │
|
||
│ BEZ znajomości dokładnej funkcji użyteczności │
|
||
│ │
|
||
│ Pytanie: "Czy loteria A jest lepsza od loterii B │
|
||
│ dla KAŻDEGO racjonalnego decydenta?" │
|
||
│ │
|
||
│ Jeśli A dominuje B → KAŻDY wybierze A (niezależnie od U) │
|
||
│ │
|
||
│ Hierarchia: │
|
||
│ FSD (First-order) ⊂ SSD (Second-order) ⊂ TSD (Third-order) │
|
||
│ │
|
||
│ FSD implikuje SSD, ale nie odwrotnie │
|
||
└─────────────────────────────────────────────────────────────────┘
|
||
```
|
||
|
||
---
|
||
|
||
### 2. Dominacja stochastyczna pierwszego rzędu (FSD)
|
||
|
||
#### Definicja
|
||
|
||
$$A \succeq_{FSD} B \Leftrightarrow F_A(x) \leq F_B(x) \quad \forall x$$
|
||
|
||
gdzie $F(x) = P(X \leq x)$ to dystrybuanta (CDF)
|
||
|
||
```
|
||
┌─────────────────────────────────────────────────────────────────┐
|
||
│ FSD: "A dominuje B jeśli F_A jest zawsze poniżej F_B" │
|
||
├─────────────────────────────────────────────────────────────────┤
|
||
│ │
|
||
│ F(x) │
|
||
│ ↑ │
|
||
│ 1 │ ╭───── F_B │
|
||
│ │ ╭──╯ │
|
||
│ │ ╭──╯ │
|
||
│ │ ╭──╯ │
|
||
│ │ ╭──╯ ╭───── F_A │
|
||
│ │ ╭──╯ ╭──╯ │
|
||
│ │ ╭──╯ ╭──╯ │
|
||
│ │──╯ ╭──╯ │
|
||
│ 0 └──────────────────────────────────────────────→ x │
|
||
│ │
|
||
│ F_A(x) ≤ F_B(x) dla każdego x → A dominuje B (FSD) │
|
||
│ │
|
||
│ Interpretacja: A ma zawsze większe prawdopodobieństwo │
|
||
│ przekroczenia dowolnego progu x │
|
||
└─────────────────────────────────────────────────────────────────┘
|
||
```
|
||
|
||
#### Charakterystyka FSD
|
||
|
||
| Aspekt | Opis |
|
||
|--------|------|
|
||
| **Warunek na U** | U'(x) ≥ 0 (monotoniczność, "więcej = lepiej") |
|
||
| **Klasa decydentów** | WSZYSCY racjonalni (nienasyceni) |
|
||
| **Siła** | Najsilniejsza dominacja |
|
||
| **Częstość** | Rzadko występuje w praktyce |
|
||
|
||
#### Równoważna definicja
|
||
|
||
$$E[U(A)] \geq E[U(B)] \quad \forall U: U' \geq 0$$
|
||
|
||
---
|
||
|
||
### 3. Dominacja stochastyczna drugiego rzędu (SSD)
|
||
|
||
#### Definicja
|
||
|
||
$$A \succeq_{SSD} B \Leftrightarrow \int_{-\infty}^{x} F_A(t) dt \leq \int_{-\infty}^{x} F_B(t) dt \quad \forall x$$
|
||
|
||
```
|
||
┌─────────────────────────────────────────────────────────────────┐
|
||
│ SSD: "Skumulowane pole pod F_A ≤ pole pod F_B" │
|
||
├─────────────────────────────────────────────────────────────────┤
|
||
│ │
|
||
│ F(x) ∫F(t)dt │
|
||
│ ↑ ↑ │
|
||
│ │ ╭── F_B │ ╭── ∫F_B │
|
||
│ │ ╭─╯ │ ╭─╯ │
|
||
│ │ ╱ ╭── F_A │ ╭─╯ │
|
||
│ │╱ ╭─╯ │ ╭─╯ ╭── ∫F_A │
|
||
│ ┼──────────→ x │ ╭─╯ ╭─╯ │
|
||
│ │─╯───╭─╯ │
|
||
│ Krzywe mogą └───────────────→ x │
|
||
│ się przecinać! Skumulowane nie! │
|
||
│ │
|
||
│ SSD dopuszcza przecięcia CDF, ale całki muszą zachować relację│
|
||
└─────────────────────────────────────────────────────────────────┘
|
||
```
|
||
|
||
#### Charakterystyka SSD
|
||
|
||
| Aspekt | Opis |
|
||
|--------|------|
|
||
| **Warunek na U** | U' ≥ 0 i U'' ≤ 0 (monotoniczne + wklęsłe) |
|
||
| **Klasa decydentów** | Risk-averse (awersja do ryzyka) |
|
||
| **Siła** | Słabsza niż FSD |
|
||
| **Częstość** | Częstsza niż FSD |
|
||
|
||
#### Równoważna definicja
|
||
|
||
$$E[U(A)] \geq E[U(B)] \quad \forall U: U' \geq 0, U'' \leq 0$$
|
||
|
||
---
|
||
|
||
### 4. Porównanie FSD i SSD
|
||
|
||
```
|
||
┌─────────────────────────────────────────────────────────────────┐
|
||
│ FSD vs SSD │
|
||
├─────────────────────────────────────────────────────────────────┤
|
||
│ │
|
||
│ Przykład 1: FSD │
|
||
│ A: 50% szans na 100, 50% na 200 │
|
||
│ B: 50% szans na 50, 50% na 150 │
|
||
│ A dominuje B (FSD) - zawsze lepsze wyniki │
|
||
│ │
|
||
│ Przykład 2: SSD (ale nie FSD) │
|
||
│ A: 100 na pewno │
|
||
│ B: 50% szans na 50, 50% na 150 │
|
||
│ E[A] = 100 = E[B], ale A ma mniejszą wariancję │
|
||
│ A dominuje B (SSD) dla risk-averse │
|
||
│ NIE dominuje (FSD) - B może dać 150 > 100 │
|
||
│ │
|
||
│ Przykład 3: Mean-Preserving Spread (MPS) │
|
||
│ B = A + ε, gdzie E[ε|A] = 0 (noise) │
|
||
│ A dominuje B (SSD) - ta sama średnia, większy rozrzut B │
|
||
└─────────────────────────────────────────────────────────────────┘
|
||
```
|
||
|
||
| Cecha | FSD | SSD |
|
||
|-------|-----|-----|
|
||
| **Warunek** | F_A(x) ≤ F_B(x) ∀x | ∫F_A ≤ ∫F_B ∀x |
|
||
| **Na U** | U' ≥ 0 | U' ≥ 0, U'' ≤ 0 |
|
||
| **Decydenci** | Wszyscy racjonalni | Risk-averse |
|
||
| **Implikacja** | FSD ⟹ SSD | SSD ⇏ FSD |
|
||
| **Praktyka** | Rzadka | Częstsza |
|
||
|
||
---
|
||
|
||
### 5. Zastosowanie w modelach wyboru
|
||
|
||
#### Portfolio Selection
|
||
|
||
```
|
||
┌─────────────────────────────────────────────────────────────────┐
|
||
│ WYBÓR PORTFELA │
|
||
├─────────────────────────────────────────────────────────────────┤
|
||
│ │
|
||
│ Problem: Wybór między portfelami P₁, P₂, ..., Pₙ │
|
||
│ │
|
||
│ Krok 1: Sprawdź FSD │
|
||
│ Jeśli Pᵢ FSD Pⱼ → wyeliminuj Pⱼ │
|
||
│ (żaden racjonalny inwestor nie wybierze Pⱼ) │
|
||
│ │
|
||
│ Krok 2: Sprawdź SSD (dla risk-averse) │
|
||
│ Jeśli Pᵢ SSD Pⱼ → wyeliminuj Pⱼ dla risk-averse │
|
||
│ │
|
||
│ Krok 3: Dla pozostałych - potrzebna specyfikacja U │
|
||
│ │
|
||
│ Efektywny zbiór SD = portfele niezdominowane │
|
||
└─────────────────────────────────────────────────────────────────┘
|
||
```
|
||
|
||
#### Ocena inwestycji
|
||
|
||
```
|
||
Inwestycja A: Zwrot ~ N(10%, 15%)
|
||
Inwestycja B: Zwrot ~ N(8%, 20%)
|
||
|
||
Test SSD:
|
||
• E[A] = 10% > E[B] = 8% ✓
|
||
• σ[A] = 15% < σ[B] = 20% ✓
|
||
|
||
Dla rozkładów normalnych z E[A] > E[B] i σ[A] < σ[B]:
|
||
A dominuje B (SSD)
|
||
|
||
Wniosek: Każdy risk-averse inwestor wybierze A
|
||
```
|
||
|
||
#### Ubezpieczenia
|
||
|
||
```
|
||
Bez ubezpieczenia: Loteria L z ryzykiem straty
|
||
Z ubezpieczeniem: CE (pewna strata = składka)
|
||
|
||
Jeśli składka = "fair" (E[składka] = E[straty]):
|
||
Ubezpieczenie SSD dominuje brak ubezpieczenia
|
||
dla każdego risk-averse decydenta
|
||
|
||
Uzasadnienie zakupu ubezpieczenia bez znajomości U!
|
||
```
|
||
|
||
---
|
||
|
||
### 6. Testowanie dominacji
|
||
|
||
```
|
||
┌─────────────────────────────────────────────────────────────────┐
|
||
│ ALGORYTM SPRAWDZANIA SD │
|
||
├─────────────────────────────────────────────────────────────────┤
|
||
│ │
|
||
│ Dane: Dwa rozkłady empiryczne (próbki x₁,...,xₙ i y₁,...,yₘ) │
|
||
│ │
|
||
│ FSD Test: │
|
||
│ 1. Oblicz empiryczne CDF: F̂_X(t), F̂_Y(t) │
|
||
│ 2. Sprawdź czy F̂_X(t) ≤ F̂_Y(t) dla wszystkich t │
|
||
│ │
|
||
│ SSD Test: │
|
||
│ 1. Oblicz ∫F̂_X(t)dt i ∫F̂_Y(t)dt │
|
||
│ 2. Sprawdź czy pierwsza ≤ druga dla wszystkich punktów │
|
||
│ │
|
||
│ Testy statystyczne: │
|
||
│ • Kolmogorov-Smirnov (FSD) │
|
||
│ • Barrett-Donald test │
|
||
│ • Linton-Maasoumi-Whang test │
|
||
└─────────────────────────────────────────────────────────────────┘
|
||
```
|
||
|
||
---
|
||
|
||
### 7. Ograniczenia
|
||
|
||
| Ograniczenie | Opis |
|
||
|--------------|------|
|
||
| **Częściowe uporządkowanie** | Nie wszystkie pary porównywalne |
|
||
| **Konserwatywność** | Wiele par bez dominacji |
|
||
| **Wymóg pełnego rozkładu** | Potrzebna cała dystrybuanta |
|
||
| **Brak dominacji ≠ obojętność** | Brak dominacji nie znaczy równoważność |
|
||
|
||
---
|
||
|
||
## 🧠 Mnemoniki
|
||
|
||
### "FSD = F always ≤":
|
||
First-order: dystrybuanta A zawsze ≤ B
|
||
|
||
### "SSD = Second = Sum (integral)":
|
||
Second-order: całka z F_A ≤ całka z F_B
|
||
|
||
### "FSD = wszyscy, SSD = risk-averse":
|
||
FSD: U' ≥ 0, SSD: U' ≥ 0, U'' ≤ 0
|
||
|
||
---
|
||
|
||
## ❓ Pytania dodatkowe
|
||
|
||
### Q1: "Kiedy FSD a kiedy SSD?"
|
||
**Odpowiedź:** FSD: gdy jeden rozkład jest jednoznacznie lepszy (przesunięty w prawo). SSD: gdy różnica w ryzyku (rozproszeniu) kompensuje różnicę w średniej dla risk-averse.
|
||
|
||
### Q2: "Co jeśli ani FSD ani SSD?"
|
||
**Odpowiedź:** Rozkłady są nieporównywalne w sensie SD. Potrzebna dokładniejsza specyfikacja preferencji (konkretna funkcja użyteczności) lub TSD (trzeci rząd).
|
||
|
||
### Q3: "Związek SD z mean-variance?"
|
||
**Odpowiedź:** Mean-variance (Markowitz) to przybliżenie. SSD jest bardziej ogólne - nie wymaga założenia normalności rozkładu. Dla rozkładów normalnych: SSD ≈ dominacja mean-variance.
|
||
|
||
---
|
||
|
||
## 🎯 Kluczowe punkty
|
||
|
||
1. **FSD:** F_A(x) ≤ F_B(x) ∀x, dla U' ≥ 0
|
||
2. **SSD:** ∫F_A ≤ ∫F_B, dla U' ≥ 0, U'' ≤ 0
|
||
3. **FSD ⟹ SSD** (ale nie odwrotnie)
|
||
4. **Zastosowanie:** Eliminacja zdominowanych opcji
|
||
5. **Bez znajomości U:** Decyzja dla klasy decydentów
|
||
|
||
---
|
||
|
||
## 📖 Źródła
|
||
|
||
1. Hadar, Russell - "Rules for Ordering Uncertain Prospects"
|
||
2. Levy - "Stochastic Dominance"
|
||
3. Rothschild, Stiglitz - "Increasing Risk"
|