# Pytanie 42: Dominacja stochastyczna ## Pytanie **"Scharakteryzować relacje dominacji stochastycznej pierwszego i drugiego rzędu. Jak mogą być użyte w modelach wyboru w warunkach ryzyka?"** Przedmiot: WDWR (Wspomaganie Decyzji w Warunkach Ryzyka) --- ## 📚 Odpowiedź główna ### 1. Idea dominacji stochastycznej ``` ┌─────────────────────────────────────────────────────────────────┐ │ DOMINACJA STOCHASTYCZNA (Stochastic Dominance) │ ├─────────────────────────────────────────────────────────────────┤ │ │ │ Cel: Porównać rozkłady prawdopodobieństwa (loterie) │ │ BEZ znajomości dokładnej funkcji użyteczności │ │ │ │ Pytanie: "Czy loteria A jest lepsza od loterii B │ │ dla KAŻDEGO racjonalnego decydenta?" │ │ │ │ Jeśli A dominuje B → KAŻDY wybierze A (niezależnie od U) │ │ │ │ Hierarchia: │ │ FSD (First-order) ⊂ SSD (Second-order) ⊂ TSD (Third-order) │ │ │ │ FSD implikuje SSD, ale nie odwrotnie │ └─────────────────────────────────────────────────────────────────┘ ``` --- ### 2. Dominacja stochastyczna pierwszego rzędu (FSD) #### Definicja $$A \succeq_{FSD} B \Leftrightarrow F_A(x) \leq F_B(x) \quad \forall x$$ gdzie $F(x) = P(X \leq x)$ to dystrybuanta (CDF) ``` ┌─────────────────────────────────────────────────────────────────┐ │ FSD: "A dominuje B jeśli F_A jest zawsze poniżej F_B" │ ├─────────────────────────────────────────────────────────────────┤ │ │ │ F(x) │ │ ↑ │ │ 1 │ ╭───── F_B │ │ │ ╭──╯ │ │ │ ╭──╯ │ │ │ ╭──╯ │ │ │ ╭──╯ ╭───── F_A │ │ │ ╭──╯ ╭──╯ │ │ │ ╭──╯ ╭──╯ │ │ │──╯ ╭──╯ │ │ 0 └──────────────────────────────────────────────→ x │ │ │ │ F_A(x) ≤ F_B(x) dla każdego x → A dominuje B (FSD) │ │ │ │ Interpretacja: A ma zawsze większe prawdopodobieństwo │ │ przekroczenia dowolnego progu x │ └─────────────────────────────────────────────────────────────────┘ ``` #### Charakterystyka FSD | Aspekt | Opis | |--------|------| | **Warunek na U** | U'(x) ≥ 0 (monotoniczność, "więcej = lepiej") | | **Klasa decydentów** | WSZYSCY racjonalni (nienasyceni) | | **Siła** | Najsilniejsza dominacja | | **Częstość** | Rzadko występuje w praktyce | #### Równoważna definicja $$E[U(A)] \geq E[U(B)] \quad \forall U: U' \geq 0$$ --- ### 3. Dominacja stochastyczna drugiego rzędu (SSD) #### Definicja $$A \succeq_{SSD} B \Leftrightarrow \int_{-\infty}^{x} F_A(t) dt \leq \int_{-\infty}^{x} F_B(t) dt \quad \forall x$$ ``` ┌─────────────────────────────────────────────────────────────────┐ │ SSD: "Skumulowane pole pod F_A ≤ pole pod F_B" │ ├─────────────────────────────────────────────────────────────────┤ │ │ │ F(x) ∫F(t)dt │ │ ↑ ↑ │ │ │ ╭── F_B │ ╭── ∫F_B │ │ │ ╭─╯ │ ╭─╯ │ │ │ ╱ ╭── F_A │ ╭─╯ │ │ │╱ ╭─╯ │ ╭─╯ ╭── ∫F_A │ │ ┼──────────→ x │ ╭─╯ ╭─╯ │ │ │─╯───╭─╯ │ │ Krzywe mogą └───────────────→ x │ │ się przecinać! Skumulowane nie! │ │ │ │ SSD dopuszcza przecięcia CDF, ale całki muszą zachować relację│ └─────────────────────────────────────────────────────────────────┘ ``` #### Charakterystyka SSD | Aspekt | Opis | |--------|------| | **Warunek na U** | U' ≥ 0 i U'' ≤ 0 (monotoniczne + wklęsłe) | | **Klasa decydentów** | Risk-averse (awersja do ryzyka) | | **Siła** | Słabsza niż FSD | | **Częstość** | Częstsza niż FSD | #### Równoważna definicja $$E[U(A)] \geq E[U(B)] \quad \forall U: U' \geq 0, U'' \leq 0$$ --- ### 4. Porównanie FSD i SSD ``` ┌─────────────────────────────────────────────────────────────────┐ │ FSD vs SSD │ ├─────────────────────────────────────────────────────────────────┤ │ │ │ Przykład 1: FSD │ │ A: 50% szans na 100, 50% na 200 │ │ B: 50% szans na 50, 50% na 150 │ │ A dominuje B (FSD) - zawsze lepsze wyniki │ │ │ │ Przykład 2: SSD (ale nie FSD) │ │ A: 100 na pewno │ │ B: 50% szans na 50, 50% na 150 │ │ E[A] = 100 = E[B], ale A ma mniejszą wariancję │ │ A dominuje B (SSD) dla risk-averse │ │ NIE dominuje (FSD) - B może dać 150 > 100 │ │ │ │ Przykład 3: Mean-Preserving Spread (MPS) │ │ B = A + ε, gdzie E[ε|A] = 0 (noise) │ │ A dominuje B (SSD) - ta sama średnia, większy rozrzut B │ └─────────────────────────────────────────────────────────────────┘ ``` | Cecha | FSD | SSD | |-------|-----|-----| | **Warunek** | F_A(x) ≤ F_B(x) ∀x | ∫F_A ≤ ∫F_B ∀x | | **Na U** | U' ≥ 0 | U' ≥ 0, U'' ≤ 0 | | **Decydenci** | Wszyscy racjonalni | Risk-averse | | **Implikacja** | FSD ⟹ SSD | SSD ⇏ FSD | | **Praktyka** | Rzadka | Częstsza | --- ### 5. Zastosowanie w modelach wyboru #### Portfolio Selection ``` ┌─────────────────────────────────────────────────────────────────┐ │ WYBÓR PORTFELA │ ├─────────────────────────────────────────────────────────────────┤ │ │ │ Problem: Wybór między portfelami P₁, P₂, ..., Pₙ │ │ │ │ Krok 1: Sprawdź FSD │ │ Jeśli Pᵢ FSD Pⱼ → wyeliminuj Pⱼ │ │ (żaden racjonalny inwestor nie wybierze Pⱼ) │ │ │ │ Krok 2: Sprawdź SSD (dla risk-averse) │ │ Jeśli Pᵢ SSD Pⱼ → wyeliminuj Pⱼ dla risk-averse │ │ │ │ Krok 3: Dla pozostałych - potrzebna specyfikacja U │ │ │ │ Efektywny zbiór SD = portfele niezdominowane │ └─────────────────────────────────────────────────────────────────┘ ``` #### Ocena inwestycji ``` Inwestycja A: Zwrot ~ N(10%, 15%) Inwestycja B: Zwrot ~ N(8%, 20%) Test SSD: • E[A] = 10% > E[B] = 8% ✓ • σ[A] = 15% < σ[B] = 20% ✓ Dla rozkładów normalnych z E[A] > E[B] i σ[A] < σ[B]: A dominuje B (SSD) Wniosek: Każdy risk-averse inwestor wybierze A ``` #### Ubezpieczenia ``` Bez ubezpieczenia: Loteria L z ryzykiem straty Z ubezpieczeniem: CE (pewna strata = składka) Jeśli składka = "fair" (E[składka] = E[straty]): Ubezpieczenie SSD dominuje brak ubezpieczenia dla każdego risk-averse decydenta Uzasadnienie zakupu ubezpieczenia bez znajomości U! ``` --- ### 6. Testowanie dominacji ``` ┌─────────────────────────────────────────────────────────────────┐ │ ALGORYTM SPRAWDZANIA SD │ ├─────────────────────────────────────────────────────────────────┤ │ │ │ Dane: Dwa rozkłady empiryczne (próbki x₁,...,xₙ i y₁,...,yₘ) │ │ │ │ FSD Test: │ │ 1. Oblicz empiryczne CDF: F̂_X(t), F̂_Y(t) │ │ 2. Sprawdź czy F̂_X(t) ≤ F̂_Y(t) dla wszystkich t │ │ │ │ SSD Test: │ │ 1. Oblicz ∫F̂_X(t)dt i ∫F̂_Y(t)dt │ │ 2. Sprawdź czy pierwsza ≤ druga dla wszystkich punktów │ │ │ │ Testy statystyczne: │ │ • Kolmogorov-Smirnov (FSD) │ │ • Barrett-Donald test │ │ • Linton-Maasoumi-Whang test │ └─────────────────────────────────────────────────────────────────┘ ``` --- ### 7. Ograniczenia | Ograniczenie | Opis | |--------------|------| | **Częściowe uporządkowanie** | Nie wszystkie pary porównywalne | | **Konserwatywność** | Wiele par bez dominacji | | **Wymóg pełnego rozkładu** | Potrzebna cała dystrybuanta | | **Brak dominacji ≠ obojętność** | Brak dominacji nie znaczy równoważność | --- ## 🧠 Mnemoniki ### "FSD = F always ≤": First-order: dystrybuanta A zawsze ≤ B ### "SSD = Second = Sum (integral)": Second-order: całka z F_A ≤ całka z F_B ### "FSD = wszyscy, SSD = risk-averse": FSD: U' ≥ 0, SSD: U' ≥ 0, U'' ≤ 0 --- ## ❓ Pytania dodatkowe ### Q1: "Kiedy FSD a kiedy SSD?" **Odpowiedź:** FSD: gdy jeden rozkład jest jednoznacznie lepszy (przesunięty w prawo). SSD: gdy różnica w ryzyku (rozproszeniu) kompensuje różnicę w średniej dla risk-averse. ### Q2: "Co jeśli ani FSD ani SSD?" **Odpowiedź:** Rozkłady są nieporównywalne w sensie SD. Potrzebna dokładniejsza specyfikacja preferencji (konkretna funkcja użyteczności) lub TSD (trzeci rząd). ### Q3: "Związek SD z mean-variance?" **Odpowiedź:** Mean-variance (Markowitz) to przybliżenie. SSD jest bardziej ogólne - nie wymaga założenia normalności rozkładu. Dla rozkładów normalnych: SSD ≈ dominacja mean-variance. --- ## 🎯 Kluczowe punkty 1. **FSD:** F_A(x) ≤ F_B(x) ∀x, dla U' ≥ 0 2. **SSD:** ∫F_A ≤ ∫F_B, dla U' ≥ 0, U'' ≤ 0 3. **FSD ⟹ SSD** (ale nie odwrotnie) 4. **Zastosowanie:** Eliminacja zdominowanych opcji 5. **Bez znajomości U:** Decyzja dla klasy decydentów --- ## 📖 Źródła 1. Hadar, Russell - "Rules for Ordering Uncertain Prospects" 2. Levy - "Stochastic Dominance" 3. Rothschild, Stiglitz - "Increasing Risk"