9.4 KiB
PYTANIE 18: Zarządzanie zapasami w łańcuchu dostaw
Problemy i przykładowy model.
Tło pojęciowe — słowniczek
Łańcuch dostaw (supply chain) — sieć organizacji od surowca do klienta końcowego: dostawcy → producenci → dystrybutorzy → detaliści → klienci. Zarządzanie zapasami na każdym ogniwie ma ogromny wpływ na koszty i poziom obsługi.
Dostawca → [Magazyn] → Producent → [Magazyn] → Dystrybutor → [Magazyn] → Sklep → Klient
zapasy na każdym etapie!
Zapasy (inventory) — produkty/materiały przechowywane „na wszelki wypadek" lub w oczekiwaniu na sprzedaż/produkcję. Za dużo = zamrożony kapitał, koszty magazynowania, ryzyko przeterminowania. Za mało = brak towaru (stockout), utrata klientów.
Bullwhip Effect (efekt byczego bicza) — zjawisko amplifikacji wahań popytu w górę łańcucha dostaw. Mała zmiana popytu u detalisty (np. +5%) powoduje coraz większe wahania zamówień u dystrybutorów (+10%), producentów (+20%), dostawców (+40%).
Klient: popyt +5% → Detalista zamawia +10% → Dystrybutor +20% → Producent +40%
Jak bicz: mały ruch ręki → ogromny ruch na końcu
Przyczyny: prognozowanie (forecasting), zamawianie partiami (batching), promocje cenowe, racjonowanie przy niedoborach.
Stockout (brak towaru) — sytuacja gdy produkt jest niedostępny. Koszt: utrata sprzedaży, utrata klienta, kary umowne.
Overstock (nadmiar zapasów) — za dużo towaru. Koszt: magazynowanie, zamrożony kapitał, obsolescence (przeterminowanie/utrata aktualności).
Koszty zapasów — trzy kategorie:
Koszt utrzymania (holding cost, h) — koszt przechowywania towaru per jednostka per rok. Obejmuje: magazyn, ubezpieczenie, koszt kapitału, utrata wartości. Typowo: 15-30% wartości towaru rocznie.
Koszt zamawiania (ordering cost, K) — stały koszt złożenia jednego zamówienia. Obejmuje: transport, administracja, kontrola jakości. Niezależny od ilości zamówionej.
Koszt braku (shortage cost, p) — koszt gdy nie mamy towaru: utrata sprzedaży, ekspresowe dostawy, kary.
EOQ (Economic Order Quantity) — model Harrisa-Wilsona (1913). Najstarszy i najważniejszy model zarządzania zapasami. Odpowiada na pytanie: ile sztuk zamawiać jednorazowo, żeby suma kosztów zamawiania i utrzymania była minimalna.
Intuicja — analogia z zakupami papieru toaletowego:
Strategia A: kupujesz 1 paczkę co tydzień
→ dużo wizyt w sklepie (wysoki koszt zamawiania)
→ mało miejsca w domu (niski koszt utrzymania)
Strategia B: kupujesz 100 paczek raz na 2 lata
→ rzadko chodzisz do sklepu (niski koszt zamawiania)
→ potrzebujesz magazynu (wysoki koszt utrzymania)
EOQ: ile paczek kupować, żeby SUMA obu kosztów była najniższa?
Założenia EOQ (ważne — na obronie mogą zapytać o ograniczenia!):
- Popyt stały i znany: D sztuk/rok (np. sprzedaż jest przewidywalna)
- Lead time = 0 (dostawa natychmiastowa)
- Brak braków (nie dopuszczamy stockoutów)
- Zamówienie przychodzi w całości (nie częściami)
- Koszt zamówienia K — stały, niezależny od wielkości
- Koszt utrzymania h — liniowo zależy od ilości w magazynie
Wyprowadzenie wzoru EOQ krok po kroku:
Krok 1 — Funkcja kosztu całkowitego:
TC(Q) = K · D/Q + h · Q/2
↑ ↑
ile zamówień średni zapas
rocznie? w magazynie
(D/Q sztuk) (Q/2 sztuk)
Dlaczego D/Q? Bo potrzebujemy D sztuk rocznie, zamawiamy po Q → robimy D/Q zamówień. Dlaczego Q/2? Zapas waha się od Q (tuż po dostawie) do 0 (tuż przed następną) → średnio Q/2.
Krok 2 — Szukamy minimum (pochodna = 0):
dTC/dQ = -K·D/Q² + h/2 = 0
h/2 = K·D/Q²
Q² = 2·K·D / h
Q* = √(2KD/h) ← wzór EOQ!
Krok 3 — Weryfikacja: druga pochodna d²TC/dQ² = 2KD/Q³ > 0 → to jest minimum (nie maksimum).
Dlaczego √? Bo rozwiązujemy równanie kwadratowe — punkt, w którym malejąca hiperbola (koszt zamawiania K·D/Q) przecina rosnącą prostą (koszt utrzymania h·Q/2).
Przykład liczbowy (krok po kroku):
Dane:
D = 10 000 szt/rok (popyt roczny)
K = 100 PLN/zamówienie (koszt złożenia zamówienia)
h = 2 PLN/szt/rok (koszt trzymania jednej sztuki przez rok)
Q* = √(2 × 100 × 10000 / 2)
= √(2 000 000 / 2)
= √1 000 000
= 1000 szt ← zamawiaj po 1000 sztuk
Ile zamówień rocznie? D/Q* = 10000/1000 = 10 zamówień
Co ile? 365/10 ≈ co 36-37 dni
Średni zapas: Q*/2 = 500 szt
Koszt roczny:
Zamawianie: K·D/Q* = 100 × 10 = 1000 PLN
Utrzymanie: h·Q*/2 = 2 × 500 = 1000 PLN ← ZAWSZE równe!
Suma: TC* = 2000 PLN/rok
Kluczowa własność: w punkcie optymalnym koszt zamawiania = koszt utrzymania. To wynika z matematyki i jest świetnym testem kontrolnym.
TC* = √(2KDh) = √(2 × 100 × 10000 × 2) = √4 000 000 = 2000 PLN
Analiza wrażliwości — co jeśli Q nie jest optymalne?
EOQ jest odporny na błędy (robustness) — nawet 20% błąd w Q daje tylko ~2% wzrost kosztu:
Q TC(Q) vs TC*=2000 % wzrost
─────────────────────────────────────────────
500 2500 +500 +25%
800 2050 +50 +2.5%
1000 2000 ±0 optimum
1200 2033 +33 +1.7%
1500 2117 +117 +5.8%
2000 2500 +500 +25%
Wniosek: lepiej zaokrąglić Q* do wygodnej liczby (np. do pełnej palety) niż trzymać się dokładnej wartości. Koszty rosną powoli wokół optimum.
Ograniczenia EOQ (częste pytanie na obronie: „kiedy model NIE działa?"):
Założenie EOQ Rzeczywistość
──────────────────────────────────────────────────
Popyt stały Popyt zmienny/sezonowy
Lead time = 0 Lead time > 0 i zmienny
Brak braków Braki się zdarzają
Jeden produkt Wiele produktów konkuruje o magazyn
Brak rabatów Rabaty ilościowe (za większe partie)
Koszt h stały h zależy od ilości (schodkowo)
Dlatego EOQ jest punktem startowym — w praktyce stosuje się jego rozszerzenia (EOQ z rabatami, EOQ z backorders, dynamiczny lot sizing).
Lead time (czas realizacji, L) — czas od złożenia zamówienia do otrzymania dostawy. Np. 5 dni. Kluczowy dla punktu zamawiania.
ROP (Reorder Point / punkt zamawiania) — poziom zapasu, przy którym składamy nowe zamówienie:
ROP = d × L + SS
d = popyt dzienny, L = lead time, SS = safety stock
Safety stock (zapas bezpieczeństwa, SS) — dodatkowy bufor na wypadek wahań popytu lub opóźnień dostawy:
SS = z × σ_L
z = kwantyl rozkładu normalnego (np. 1.65 dla 95% poziomu obsługi)
σ_L = odchylenie standardowe popytu w lead time
Przykład: d=30 szt/dzień, L=5 dni, SS=50 szt
ROP = 30×5 + 50 = 200 szt
Gdy stan spada do 200 → zamawiaj!
Modele zaawansowane:
- (s, Q) — gdy stan spadnie do s, zamów dokładnie Q sztuk. (s = ROP, Q = EOQ)
- (s, S) — gdy stan spadnie do s, zamów „do poziomu S" (order-up-to). Wielkość zamówienia zmienna.
- (R, S) — co R dni (stały cykl) zamów „do poziomu S". Prostsze administracyjnie.
- VMI (Vendor Managed Inventory) — dostawca zarządza zapasami klienta (np. Walmart + P&G). Dostawca widzi dane sprzedażowe i sam decyduje kiedy dostarczyć.
Problemy
- Bullwhip Effect — amplifikacja wahań popytu w górę łańcucha (detaliści → dystrybutorzy → producenci → dostawcy). Przyczyny: forecasting, batching, promocje.
- Stockouts vs Overstock, obsolescence, lead time variability, demand uncertainty
Koszty: Utrzymania (h) + Zamawiania (K) + Braku (p)
Model EOQ (Economic Order Quantity) — Harris-Wilson
Założenia: popyt stały D, lead time = 0, koszt zamówienia K, koszt utrzymania h.
TC(Q) = K·D/Q + h·Q/2
Optymalna wielkość: Q* = √(2KD/h)
Opt. koszt: TC* = √(2KDh)
Przykład: D=10000, K=100, h=2 → Q*=1000, TC*=2000 PLN/rok
Punkt zamawiania (ROP)
ROP = d × L + SS (popyt dzienny × lead time + safety stock)
SS = z × σ_L (z z tablic normalnych, np. 1.65 dla 95%)
Modele zaawansowane: (s,Q), (s,S), (R,S), VMI (Vendor Managed Inventory)
Etymologia
EOQ — Economic Order Quantity; Ford W. Harris (1913, „How Many Parts To Make At Once") — jedno z najstarszych zastosowań badań operacyjnych. Bullwhip Effect — Procter & Gamble (1990s) nadali nazwę; Jay Forrester (MIT, 1961) pierwszy opisał jako „demand amplification"; „bullwhip" = bicz pasterski. ROP — Reorder Point. VMI — Vendor Managed Inventory (Walmart + P&G, lata 80.). Safety stock — zapas bezpieczeństwa na wypadek wahań popytu/dostaw.
Jak zapamiętać
- EOQ = √(2KD/h) — zapamiętaj formułę!
- ROP = d×L + SS — kiedy zamawiać
- Bullwhip = bicz — małe wahania na końcu → duże na początku łańcucha