mirror of
https://github.com/kuhyx/praca_magisterska.git
synced 2026-07-04 13:43:05 +02:00
15 KiB
15 KiB
Pytanie 42: Dominacja stochastyczna
Pytanie
"Scharakteryzować relacje dominacji stochastycznej pierwszego i drugiego rzędu. Jak mogą być użyte w modelach wyboru w warunkach ryzyka?"
Przedmiot: WDWR (Wspomaganie Decyzji w Warunkach Ryzyka)
📚 Odpowiedź główna
1. Idea dominacji stochastycznej
┌─────────────────────────────────────────────────────────────────┐
│ DOMINACJA STOCHASTYCZNA (Stochastic Dominance) │
├─────────────────────────────────────────────────────────────────┤
│ │
│ Cel: Porównać rozkłady prawdopodobieństwa (loterie) │
│ BEZ znajomości dokładnej funkcji użyteczności │
│ │
│ Pytanie: "Czy loteria A jest lepsza od loterii B │
│ dla KAŻDEGO racjonalnego decydenta?" │
│ │
│ Jeśli A dominuje B → KAŻDY wybierze A (niezależnie od U) │
│ │
│ Hierarchia: │
│ FSD (First-order) ⊂ SSD (Second-order) ⊂ TSD (Third-order) │
│ │
│ FSD implikuje SSD, ale nie odwrotnie │
└─────────────────────────────────────────────────────────────────┘
2. Dominacja stochastyczna pierwszego rzędu (FSD)
Definicja
A \succeq_{FSD} B \Leftrightarrow F_A(x) \leq F_B(x) \quad \forall xgdzie F(x) = P(X \leq x) to dystrybuanta (CDF)
┌─────────────────────────────────────────────────────────────────┐
│ FSD: "A dominuje B jeśli F_A jest zawsze poniżej F_B" │
├─────────────────────────────────────────────────────────────────┤
│ │
│ F(x) │
│ ↑ │
│ 1 │ ╭───── F_B │
│ │ ╭──╯ │
│ │ ╭──╯ │
│ │ ╭──╯ │
│ │ ╭──╯ ╭───── F_A │
│ │ ╭──╯ ╭──╯ │
│ │ ╭──╯ ╭──╯ │
│ │──╯ ╭──╯ │
│ 0 └──────────────────────────────────────────────→ x │
│ │
│ F_A(x) ≤ F_B(x) dla każdego x → A dominuje B (FSD) │
│ │
│ Interpretacja: A ma zawsze większe prawdopodobieństwo │
│ przekroczenia dowolnego progu x │
└─────────────────────────────────────────────────────────────────┘
Charakterystyka FSD
| Aspekt | Opis |
|---|---|
| Warunek na U | U'(x) ≥ 0 (monotoniczność, "więcej = lepiej") |
| Klasa decydentów | WSZYSCY racjonalni (nienasyceni) |
| Siła | Najsilniejsza dominacja |
| Częstość | Rzadko występuje w praktyce |
Równoważna definicja
E[U(A)] \geq E[U(B)] \quad \forall U: U' \geq 03. Dominacja stochastyczna drugiego rzędu (SSD)
Definicja
A \succeq_{SSD} B \Leftrightarrow \int_{-\infty}^{x} F_A(t) dt \leq \int_{-\infty}^{x} F_B(t) dt \quad \forall x┌─────────────────────────────────────────────────────────────────┐
│ SSD: "Skumulowane pole pod F_A ≤ pole pod F_B" │
├─────────────────────────────────────────────────────────────────┤
│ │
│ F(x) ∫F(t)dt │
│ ↑ ↑ │
│ │ ╭── F_B │ ╭── ∫F_B │
│ │ ╭─╯ │ ╭─╯ │
│ │ ╱ ╭── F_A │ ╭─╯ │
│ │╱ ╭─╯ │ ╭─╯ ╭── ∫F_A │
│ ┼──────────→ x │ ╭─╯ ╭─╯ │
│ │─╯───╭─╯ │
│ Krzywe mogą └───────────────→ x │
│ się przecinać! Skumulowane nie! │
│ │
│ SSD dopuszcza przecięcia CDF, ale całki muszą zachować relację│
└─────────────────────────────────────────────────────────────────┘
Charakterystyka SSD
| Aspekt | Opis |
|---|---|
| Warunek na U | U' ≥ 0 i U'' ≤ 0 (monotoniczne + wklęsłe) |
| Klasa decydentów | Risk-averse (awersja do ryzyka) |
| Siła | Słabsza niż FSD |
| Częstość | Częstsza niż FSD |
Równoważna definicja
E[U(A)] \geq E[U(B)] \quad \forall U: U' \geq 0, U'' \leq 04. Porównanie FSD i SSD
┌─────────────────────────────────────────────────────────────────┐
│ FSD vs SSD │
├─────────────────────────────────────────────────────────────────┤
│ │
│ Przykład 1: FSD │
│ A: 50% szans na 100, 50% na 200 │
│ B: 50% szans na 50, 50% na 150 │
│ A dominuje B (FSD) - zawsze lepsze wyniki │
│ │
│ Przykład 2: SSD (ale nie FSD) │
│ A: 100 na pewno │
│ B: 50% szans na 50, 50% na 150 │
│ E[A] = 100 = E[B], ale A ma mniejszą wariancję │
│ A dominuje B (SSD) dla risk-averse │
│ NIE dominuje (FSD) - B może dać 150 > 100 │
│ │
│ Przykład 3: Mean-Preserving Spread (MPS) │
│ B = A + ε, gdzie E[ε|A] = 0 (noise) │
│ A dominuje B (SSD) - ta sama średnia, większy rozrzut B │
└─────────────────────────────────────────────────────────────────┘
| Cecha | FSD | SSD |
|---|---|---|
| Warunek | F_A(x) ≤ F_B(x) ∀x | ∫F_A ≤ ∫F_B ∀x |
| Na U | U' ≥ 0 | U' ≥ 0, U'' ≤ 0 |
| Decydenci | Wszyscy racjonalni | Risk-averse |
| Implikacja | FSD ⟹ SSD | SSD ⇏ FSD |
| Praktyka | Rzadka | Częstsza |
5. Zastosowanie w modelach wyboru
Portfolio Selection
┌─────────────────────────────────────────────────────────────────┐
│ WYBÓR PORTFELA │
├─────────────────────────────────────────────────────────────────┤
│ │
│ Problem: Wybór między portfelami P₁, P₂, ..., Pₙ │
│ │
│ Krok 1: Sprawdź FSD │
│ Jeśli Pᵢ FSD Pⱼ → wyeliminuj Pⱼ │
│ (żaden racjonalny inwestor nie wybierze Pⱼ) │
│ │
│ Krok 2: Sprawdź SSD (dla risk-averse) │
│ Jeśli Pᵢ SSD Pⱼ → wyeliminuj Pⱼ dla risk-averse │
│ │
│ Krok 3: Dla pozostałych - potrzebna specyfikacja U │
│ │
│ Efektywny zbiór SD = portfele niezdominowane │
└─────────────────────────────────────────────────────────────────┘
Ocena inwestycji
Inwestycja A: Zwrot ~ N(10%, 15%)
Inwestycja B: Zwrot ~ N(8%, 20%)
Test SSD:
• E[A] = 10% > E[B] = 8% ✓
• σ[A] = 15% < σ[B] = 20% ✓
Dla rozkładów normalnych z E[A] > E[B] i σ[A] < σ[B]:
A dominuje B (SSD)
Wniosek: Każdy risk-averse inwestor wybierze A
Ubezpieczenia
Bez ubezpieczenia: Loteria L z ryzykiem straty
Z ubezpieczeniem: CE (pewna strata = składka)
Jeśli składka = "fair" (E[składka] = E[straty]):
Ubezpieczenie SSD dominuje brak ubezpieczenia
dla każdego risk-averse decydenta
Uzasadnienie zakupu ubezpieczenia bez znajomości U!
6. Testowanie dominacji
┌─────────────────────────────────────────────────────────────────┐
│ ALGORYTM SPRAWDZANIA SD │
├─────────────────────────────────────────────────────────────────┤
│ │
│ Dane: Dwa rozkłady empiryczne (próbki x₁,...,xₙ i y₁,...,yₘ) │
│ │
│ FSD Test: │
│ 1. Oblicz empiryczne CDF: F̂_X(t), F̂_Y(t) │
│ 2. Sprawdź czy F̂_X(t) ≤ F̂_Y(t) dla wszystkich t │
│ │
│ SSD Test: │
│ 1. Oblicz ∫F̂_X(t)dt i ∫F̂_Y(t)dt │
│ 2. Sprawdź czy pierwsza ≤ druga dla wszystkich punktów │
│ │
│ Testy statystyczne: │
│ • Kolmogorov-Smirnov (FSD) │
│ • Barrett-Donald test │
│ • Linton-Maasoumi-Whang test │
└─────────────────────────────────────────────────────────────────┘
7. Ograniczenia
| Ograniczenie | Opis |
|---|---|
| Częściowe uporządkowanie | Nie wszystkie pary porównywalne |
| Konserwatywność | Wiele par bez dominacji |
| Wymóg pełnego rozkładu | Potrzebna cała dystrybuanta |
| Brak dominacji ≠ obojętność | Brak dominacji nie znaczy równoważność |
🧠 Mnemoniki
"FSD = F always ≤":
First-order: dystrybuanta A zawsze ≤ B
"SSD = Second = Sum (integral)":
Second-order: całka z F_A ≤ całka z F_B
"FSD = wszyscy, SSD = risk-averse":
FSD: U' ≥ 0, SSD: U' ≥ 0, U'' ≤ 0
❓ Pytania dodatkowe
Q1: "Kiedy FSD a kiedy SSD?"
Odpowiedź: FSD: gdy jeden rozkład jest jednoznacznie lepszy (przesunięty w prawo). SSD: gdy różnica w ryzyku (rozproszeniu) kompensuje różnicę w średniej dla risk-averse.
Q2: "Co jeśli ani FSD ani SSD?"
Odpowiedź: Rozkłady są nieporównywalne w sensie SD. Potrzebna dokładniejsza specyfikacja preferencji (konkretna funkcja użyteczności) lub TSD (trzeci rząd).
Q3: "Związek SD z mean-variance?"
Odpowiedź: Mean-variance (Markowitz) to przybliżenie. SSD jest bardziej ogólne - nie wymaga założenia normalności rozkładu. Dla rozkładów normalnych: SSD ≈ dominacja mean-variance.
🎯 Kluczowe punkty
- FSD: F_A(x) ≤ F_B(x) ∀x, dla U' ≥ 0
- SSD: ∫F_A ≤ ∫F_B, dla U' ≥ 0, U'' ≤ 0
- FSD ⟹ SSD (ale nie odwrotnie)
- Zastosowanie: Eliminacja zdominowanych opcji
- Bez znajomości U: Decyzja dla klasy decydentów
📖 Źródła
- Hadar, Russell - "Rules for Ordering Uncertain Prospects"
- Levy - "Stochastic Dominance"
- Rothschild, Stiglitz - "Increasing Risk"