mirror of
https://github.com/kuhyx/WUT_Computer_Science.git
synced 2026-07-04 20:03:04 +02:00
520 lines
23 KiB
TeX
520 lines
23 KiB
TeX
\documentclass{article}
|
||
\usepackage[utf8]{inputenc}
|
||
\usepackage{polski}
|
||
\usepackage{amsmath}
|
||
\usepackage{relsize,amsfonts}
|
||
\usepackage{enumitem}
|
||
\usepackage{graphicx}
|
||
\usepackage{float}
|
||
|
||
\newcommand\bigexists{%
|
||
\mathop{\lower0.75ex\hbox{\ensuremath{%
|
||
\mathlarger{\mathlarger{\mathlarger{\mathlarger{\exists}}}}}}}%
|
||
\limits}
|
||
|
||
\newcommand\bigforall{%
|
||
\mathop{\lower0.75ex\hbox{\ensuremath{%
|
||
\mathlarger{\mathlarger{\mathlarger{\mathlarger{\forall}}}}}}}%
|
||
\limits}
|
||
|
||
\title{Wspomaganie Decyzji w Warunkach Ryzyka\\ Projekt numer 25406\\}
|
||
\author{Krzysztof Rudnicki\\ numer albumu: 307585}
|
||
\date{\today}
|
||
|
||
\begin{document}
|
||
|
||
\maketitle
|
||
|
||
\tableofcontents
|
||
\newpage
|
||
|
||
\section*{Treść zadania}
|
||
\addcontentsline{toc}{section}{Treść zadania}
|
||
Rozważmy następujące zagadnienie planowania produkcji:
|
||
|
||
\begin{itemize}
|
||
\item Przedsiębiorstwo wytwarza 4 produkty P1,...,P4 na następujących maszynach: 4 szlifierkach,
|
||
2 wiertarkach pionowych, 3 wiertarkach poziomych, 1 frezarce i 1 tokarce. Wymagane czasy produkcji
|
||
1 sztuki produktu (w godzinach) w danym procesie obróbki zostały przedstawione w poniższej tabeli:\\
|
||
\begin{center}
|
||
\begin{tabular}{l*{4}{c}}
|
||
\hline
|
||
& P1 & P2 & P3 & P4 \\
|
||
\hline
|
||
Szlifowanie & 0,4 & 0,6 & - & - \\
|
||
Wiercenie pionowe & 0,2 & 0,1 & - & 0,6 \\
|
||
Wiercenie poziome & 0,1 & - & 0,7 & - \\
|
||
Frezowanie & 0,06 & 0,04 & - & 0,05 \\
|
||
Toczenie & - & 0,05 & 0,02 & - \\
|
||
\hline
|
||
\end{tabular}
|
||
\end{center}
|
||
|
||
\item Dochody ze sprzedaży produktów (w zł/sztukę) określają składowe wektora
|
||
$\mathbf{R} = (R_{1},...,R_{4})^{T}$. Wektor $\mathbf{R}$ opisuje 4-wymiarowy rozkład
|
||
\textit{t}-Studenta z 4 stopniami swobody, którego wartości składowych zostały zawężone do
|
||
przedziału $[5;12]$. Wektor wartości oczekiwanych $\mu$ oraz macierz kowariancji
|
||
$\Sigma$ niezawężonego rozkładu \textit{t}-Studenta są następujące:
|
||
\begin{displaymath}
|
||
\mathbf{\mu} =
|
||
\begin{pmatrix}
|
||
9 \\ 8 \\ 7 \\ 6 \\
|
||
\end{pmatrix},
|
||
\mathbf{\Sigma} =
|
||
\begin{pmatrix}
|
||
16 & -2 & -1 & -3 \\
|
||
-2 & 9 & -4 & -1 \\
|
||
-1 & -4 & 4 & 1 \\
|
||
-3 & -1 & 1 & 1 \\
|
||
\end{pmatrix}
|
||
\end{displaymath}
|
||
|
||
\item Istnieją ograniczenia rynkowe na liczbę sprzedawanych produktów w danym miesiącu:
|
||
\begin{center}
|
||
\begin{tabular}{l*{4}{c}}
|
||
\hline
|
||
& P1 & P2 & P3 & P4 \\
|
||
\hline
|
||
Styczeń & 200 & 0 & 100 & 200 \\
|
||
Luty & 300 & 100 & 200 & 200 \\
|
||
Marzec & 0 & 300 & 100 & 200 \\
|
||
\hline
|
||
\end{tabular}
|
||
\end{center}
|
||
|
||
\item Jeżeli sprzedaż danego produktu przekracza 80 procent ilości jaką może wchłonąć rynek,
|
||
jego dochód spada o 20 procent.
|
||
|
||
\item Istnieje możliwość składowania do 200 sztuk każdego produktu w danym czasie w cenie 1 zł/sztukę
|
||
za miesiąc. W chwili obecnej (grudzień) w magazynach znajduje się po 50 sztuk każdego produkt.
|
||
Istnieje wymaganie, aby tyle pozostało również pod koniec marca.
|
||
|
||
\item Przedsiębiorstwo pracuje 6 dni w tygodniu w systemie dwóch zmian. Każda zmiana trwa 8 godzin.
|
||
Można założyć, że każdy miesiąc składa się z 24 dni roboczych.
|
||
\end{itemize}
|
||
|
||
\section*{Polecenia}
|
||
\addcontentsline{toc}{section}{Polecenia}
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item Zaproponować jednokryterialny model wyboru w warunkach ryzyka z wartością oczekiwaną jako
|
||
miarą zysku. Wyznaczyć rozwiązanie optymalne.
|
||
\item Jako rozszerzenie powyższego zaproponować dwukryterialny model zysku i ryzyka ze średnią
|
||
jako miarą zysku i średnią różnicą Giniego jako miarą ryzyka. Dla decyzji
|
||
$\mathbf{x}\in Q$ średnia różnica Giniego jest definiowana jako
|
||
$\Gamma(\mathbf{x})=\frac{1}{2}\sum_{t'=1}^{T}\sum_{t"=1}^{T}\lvert r_{t'}(\mathbf{x})-r_{t"}(\mathbf{x})\rvert p_{t'}p_{t"}$, gdzie $r_{t'}(\mathbf{x})$
|
||
oznacza realizację dla scenariusza t, $p_{t}$ prawdopodobieństwo scenariusza t.
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item Wyznaczyć obraz zbioru rozwiązań efektywnych w przestrzeni zysk-ryzyko.
|
||
\item Wskazać rozwiązania efektywne minimalnego ryzyka i maksymalnego zysku. Jakie odpowiadają im
|
||
wartości w przestrzeni ryzyko-zysk?
|
||
\item Wybrać trzy dowolne rozwiązania efektywne. Sprawdzić, czy zachodzi pomiędzy nimi relacja
|
||
dominacji stochastycznej pierwszego rzędu. Wyniki skomentować, odnieść do ogólnego przypadku.
|
||
\end{enumerate}
|
||
\end{enumerate}
|
||
|
||
\section{Wstęp teoretyczny}
|
||
\addcontentsline{toc}{section}{Wstęp teoretyczny}
|
||
Model jednokryterialny wyboru w warunkach ryzyka został zaprojektowany w celu identyfikacji rozwiązania
|
||
optymalnego poprzez maksymalizację oczekiwanej wartości zysku. Wartość oczekiwana jest kalkulowana na
|
||
podstawie scenariuszy generowanych zgodnie z rozkładem \textit{t}-Studenta wykorzystującym parametry
|
||
określone w zadaniu. W analizie założono równomierne prawdopodobieństwo występowania wszystkich
|
||
scenariuszy. \\
|
||
Wszystkie parametry modelu zostały opisane poniżej.
|
||
Identyczne nazewnictwo zostało zastosowane w implementacji modelu. Dla parametrów będących wektorami
|
||
i macierzami, w nawiasach kwadratowych określono ich wymiary, odnosząc się do odpowiednich parametrów liczbowych.
|
||
\subsection{Opis parametrów}
|
||
\addcontentsline{toc}{subsection}{Opis parametrów}
|
||
|
||
\textbf{numberOfMachineTypes} - Ilość typów maszyn (procesów) dostępnych w fabryce
|
||
|
||
\textbf{numberOfMonths} - Ilość miesięcy uwzględnionych w symulacji
|
||
|
||
\textbf{numberOfProductsTypes} - Ilość typów produktów
|
||
|
||
\textbf{numberOfScenarios} - Ilość scenariuszy wygenerowanych do symulacji
|
||
|
||
\textbf{machines[numberOfMachineTypes]} - Wektor typów maszyn (procesów)
|
||
|
||
\textbf{months[numberOfMonths]} - Wektor miesięcy symulacji
|
||
|
||
\textbf{products[numberOfProductsTypes]} - Wektor typów produktów
|
||
|
||
\textbf{machineCount[numberOfMachineTypes]} - Wektor ilości maszyn danego typu
|
||
|
||
\textbf{timeToProduce[numberOfMachineTypes][numberOfProductsTypes]} - Macierz czasów produkcji danego produktu na danej maszynie
|
||
|
||
\textbf{maxProductsInMonth[numberOfMonths][numberOfProductsTypes]} - Macierz maksymalnej ilości produktów, jakie można sprzedać w danym miesiącu
|
||
|
||
\textbf{numberOfHoursInFactory} - Ilość godzin pracy fabryki w miesiącu
|
||
|
||
\textbf{mu[numberOfProductsTypes]} - Wektor wartości oczekiwanych rozkładu t-Studenta do generacji scenariuszy
|
||
|
||
\textbf{sigma[numberOfProductsTypes][numberOfProductsTypes]} - Macierz kowariancji dla rozkładu t-Studenta
|
||
|
||
\textbf{sellProfit[numberOfScenarios][numberOfProductsTypes]} - Macierz wygenerowanych scenariuszy dochodów ze sprzedaży produktów
|
||
|
||
\textbf{storageCost} - Koszt trzymania jednej sztuki produktu w magazynie przez miesiąc
|
||
|
||
\textbf{storageMax[numberOfProductsTypes]} - Wektor maksymalnej pojemności magazynu dla każdego typu produktu
|
||
|
||
\textbf{storageStart[numberOfProductsTypes]} - Wektor ilości początkowej produktów w magazynie
|
||
|
||
\subsection{Zmienne decyzyjne}
|
||
\addcontentsline{toc}{subsection}{Zmienne decyzyjne}
|
||
|
||
\textbf{produce[numberOfMonths][numberOfProductsTypes]} - Macierz zawierająca ilości wytwarzanych sztuk danego typu produktu w danym miesiącu
|
||
|
||
\textbf{sell[numberOfMonths][numberOfProductsTypes]} - Macierz zawierająca ilości sprzedawanych sztuk danego typu produktu w danym miesiącu
|
||
|
||
\textbf{stock[numberOfMonths][numberOfProductsTypes]} - Macierz zawierająca ilości sztuk danego typu produktu znajdujących się w magazynie w danym miesiącu
|
||
|
||
\textbf{workTime[numberOfMonths][numberOfMachineTypes][numberOfProductsTypes]} - Macierz zawierająca czas pracy każdej maszyny dla każdego typu produktu w każdym miesiącu
|
||
|
||
\textbf{if80prec[numberOfMonths][numberOfProductsTypes]} - Macierz zmiennych binarnych (1 jeśli sprzedaż danego produktu w danym miesiącu przekroczyła 80\% wartości maksymalnej, 0 - w przeciwnym wypadku)
|
||
|
||
\textbf{lowerProfit[numberOfScenarios][numberOfMonths][numberOfProductsTypes]} - Macierz przechowująca kwoty, jaką należy odjąć od zysków z poszczególnych typów produktów w poszczególnych miesiącach, ze względu na przekroczenie 80\% pojemności rynku. Zmienna niezbędna do wyeliminowania obecności zmiennej binarnej w funkcji oceny
|
||
|
||
\subsection{Ograniczenia}
|
||
Przetłumaczono ograniczenia z języka naturalnego na język matematyczny
|
||
\addcontentsline{toc}{subsection}{Ograniczenia}
|
||
\begin{itemize}
|
||
\item Ograniczenie dolne wartości zmiennych decyzyjnych – wartości nie mogą być mniejsze od zera:
|
||
\begin{equation}
|
||
\forall{\substack{
|
||
m \in months \\
|
||
p \in products \\
|
||
mc \in machines}} workTime[m][mc][p] >=0
|
||
\end{equation}
|
||
\begin{equation}
|
||
\forall{\substack{
|
||
m \in months \\
|
||
p \in products}} produce[m][p] >=0
|
||
\end{equation}
|
||
\begin{equation}
|
||
\forall{\substack{
|
||
m \in months \\
|
||
p \in products}} sell[m][p] >=0
|
||
\end{equation}
|
||
\begin{equation}
|
||
\forall{\substack{
|
||
m \in months \\
|
||
p \in products}} stock[m][p] >=0
|
||
\end{equation}
|
||
\begin{equation}
|
||
\forall{\substack{
|
||
i \in scenarios \\
|
||
m \in months \\
|
||
p \in products}} lowerProfit[i][m][p] >=0
|
||
\end{equation}
|
||
|
||
\item Ograniczenie czasowe pracy maszyn - Każda maszyna może pracować maksymalnie \textit{numberOfHoursInFactory} godzin w miesiącu, zatem łączny czas pracy wszystkich maszyn danego typu nie może przekroczyć iloczynu liczby dostępnych maszyn tego typu i czasu \textit{numberOfHoursInFactory}.
|
||
\begin{equation}
|
||
\forall{\substack{
|
||
m \in months\\
|
||
mc \in machines}} \sum_{p \in products}
|
||
(workTime[m][mc][p] <= machineCount[mc]*numberOfHoursInFactory)
|
||
\end{equation}
|
||
\item Ograniczenie wiążące czas pracy maszyn z produkcją - czas wykorzystania określonego typu maszyny jest równy sumie iloczynów liczby wytworzonych jednostek każdego produktu i czasu potrzebnego na obróbkę jednej jednostki tego produktu na danej maszynie:
|
||
\begin{equation}
|
||
\forall{\substack{
|
||
m \in months\\
|
||
mc \in machines\\
|
||
p \in products}} workTime[m][mc][p] == produce[m][p]*timeToProduce[mc][p]
|
||
\end{equation}
|
||
\item Ograniczenie maksymalnej sprzedaży wynikające z pojemności rynku w danym miesiącu:
|
||
\begin{equation}
|
||
\forall{\substack{
|
||
m \in months\\
|
||
p \in products}} sell[m][p] == maxProductsInMonth[m][p]
|
||
\end{equation}
|
||
|
||
\item Warunki definiujące zmienną binarną przy przekroczeniu 80 procent chłonności rynku:
|
||
\begin{equation}
|
||
\forall{\substack{
|
||
m \in months\\
|
||
p \in products}} sell[m][p] <= 0.8*maxProductsInMonth[m][p] + 1000000 * if80prec[m][p]
|
||
\end{equation}
|
||
\begin{equation}
|
||
\forall{\substack{
|
||
m \in months\\
|
||
p \in products}} sell[m][p] >= 0.8*maxProductsInMonth[m][p] * if80prec[m][p]
|
||
\end{equation}
|
||
|
||
\item Ograniczenia linearyzujące oddziaływanie zmiennych binarnych na funkcję celu:
|
||
\begin{equation}
|
||
\forall{\substack{
|
||
i \in scenarios\\
|
||
m \in months\\
|
||
p \in products}} lowerProfit[i][m][p] <= 1000000 * if80prec[m][p]
|
||
\end{equation}
|
||
\begin{equation}
|
||
\forall{\substack{
|
||
i \in scenarios\\
|
||
m \in months\\
|
||
p \in products}} lowerProfit[i][m][p] <= 0.2 * sell[m][p]*sellProfit[i][p]
|
||
\end{equation}
|
||
\begin{multline}
|
||
\forall{\substack{
|
||
i \in scenarios\\
|
||
m \in months\\
|
||
p \in products}} 0.2 * sell[m][p]*sellProfit[i][p] - lowerProfit[i][m][p] +\\ 1000000 * if80prec[m][p] <= 1000000;
|
||
\end{multline}
|
||
|
||
\item Ograniczenie sprzedaży do liczby sztuk wyprodukowanych oraz dostępnych w magazynie. Dla pierwszego miesiąca ograniczenie przyjmuje formę:
|
||
\begin{equation}
|
||
\forall{\substack{
|
||
m \in months\\
|
||
p \in products}} sell[m][p] <= produce[m][p]+storageStart[p]
|
||
\end{equation}
|
||
Dla każdego następnego miesiąca:
|
||
\begin{equation}
|
||
\forall{\substack{
|
||
m \in months\\
|
||
p \in products}} sell[m][p] <= produce[m][p] + stock[m-1][p]
|
||
\end{equation}
|
||
|
||
\item Ograniczenie określające stan magazynu na koniec miesiąca jako różnicę między sumą produktów wyprodukowanych i dostępnych na początku miesiąca a liczbą sprzedanych jednostek. Dla pierwszego miesiąca:
|
||
\begin{equation}
|
||
\forall{\substack{
|
||
m \in months\\
|
||
p \in products}} stock[m][p]==(produce[m][p] + storageStart[p])-sell[m][p]
|
||
\end{equation}
|
||
Dla każdego następnego miesiąca:
|
||
\begin{equation}
|
||
\forall{\substack{
|
||
m \in months\\
|
||
p \in products}} stock[m][p]==(produce[m][p] + stock[m-1][p])-sell[m][p]
|
||
\end{equation}
|
||
|
||
\end{itemize}
|
||
\subsection{Funkcja celu}
|
||
\addcontentsline{toc}{subsection}{Funkcja celu}
|
||
Funkcja celu w modelu jednokryterialnym polega na maksymalizacji wartości oczekiwanej zysku ze wszystkich analizowanych scenariuszy. W każdym ze scenariuszy zastosowano funkcję zysku o następującej postaci
|
||
\begin{multline}
|
||
\forall{\substack{
|
||
i<nScernarios\\
|
||
i \in N}}
|
||
profit[i] =\sum_{m \in months} \sum_{p \in products}
|
||
(sell[m][p]\cdot sellProfit[i][p] \\ -lowerProfit[i][m][p]-stock[m][p]*storageCost)
|
||
\end{multline}
|
||
|
||
|
||
|
||
\subsection{Implementacja}
|
||
\addcontentsline{toc}{subsection}{Implementacja}
|
||
\subsubsection{Scneariusz dochodów ze sprzedaży}
|
||
\addcontentsline{toc}{subsubsection}{Scneariusz dochodów ze sprzedaży}
|
||
Przychody ze sprzedaży poszczególnych typów produktów definiowane są przez wektor losowy opisany w treści zadania. W celu wygenerowania wektorów
|
||
reprezentujących poszczególne scenariusze przychodów zastosowano bibliotekę MASS języka R. Implementacja została wykonana w środowisku R Studio IDE, a
|
||
skrypt generujący dane zapisano w pliku \textit{t-student.R}. W ramach przeprowadzonej symulacji wygenerowano
|
||
1000 scenariuszy realizacji przychodów.
|
||
|
||
\subsubsection{Model}
|
||
\addcontentsline{toc}{subsubsection}{Model}
|
||
Model zaimplementowano w środowisku IBM ILOG CPLEX Optimization Studio z wykorzystaniem solvera CPLEX. Nazewnictwo parametrów oraz zmiennych decyzyjnych
|
||
jest zgodne z opisem zawartym w tabelach \ref{tab:param} i \ref{tab:var}. Plik \textit{wdwr25406-1.dat} zawiera definicje parametrów modelu,
|
||
natomiast plik \textit{wdwr25406-1.mod} obejmuje wczytywanie parametrów, definicje zmiennych decyzyjnych, funkcji celu oraz ograniczeń modelu.
|
||
W celu uproszczenia implementacji przyjęto numeryczne oznaczenia dla miesięcy, produktów oraz procesów technologicznych. Miesiące numerowane są chronologicznie,
|
||
produkty zgodnie z indeksem występującym w nazwie (P1-P4), natomiast procesy technologiczne według poniższej sekwencji:
|
||
\begin{enumerate}
|
||
\item Szlifowanie,
|
||
\item Wiercenie pionowe,
|
||
\item Wiercenie poziome,
|
||
\item Frezowanie,
|
||
\item Toczenie.
|
||
\end{enumerate}
|
||
|
||
\subsection{Rozwiązanie}
|
||
\addcontentsline{toc}{subsection}{Rozwiązanie}
|
||
Rozwiązanie optymalne modelu maksymalizacji wartości oczekiwanej zysku zostało wyznaczone przy użyciu solvera CPLEX.
|
||
Maksymalna wartość oczekiwana zysku wynosi około 11036,12 zł.
|
||
Optymalne wartości zmiennych decyzyjnych przedstawiają się następująco:
|
||
\begin{displaymath}
|
||
\mathbf{sell} =
|
||
\begin{pmatrix}
|
||
160 & 0 & 80 & 160 \\
|
||
240 & 80 & 160 & 160 \\
|
||
0 & 240 & 80 & 160 \\
|
||
\end{pmatrix},
|
||
\mathbf{if80prec} =
|
||
\begin{pmatrix}
|
||
0 & 1 & 0 & 0 \\
|
||
0 & 0 & 0 & 0 \\
|
||
1 & 0 & 0 & 0 \\
|
||
\end{pmatrix},
|
||
\end{displaymath}
|
||
\begin{displaymath}
|
||
\mathbf{stock} =
|
||
\begin{pmatrix}
|
||
0 & 50 & 0 & 0 \\
|
||
0 & 0 & 0 & 0 \\
|
||
50 & 50 & 50 & 50 \\
|
||
\end{pmatrix},
|
||
\mathbf{produce} =
|
||
\begin{pmatrix}
|
||
110 & 0 & 30 & 110 \\
|
||
240 & 30 & 160 & 160 \\
|
||
50 & 290 & 130 & 210 \\
|
||
\end{pmatrix}
|
||
\end{displaymath}
|
||
|
||
Czasem pracy poszczególnych typów maszyn dla różnych typów produktów w każdym miesiącu obrazują następujące macierze:
|
||
\begin{displaymath}
|
||
\mathbf{workTime[1]} =
|
||
\begin{pmatrix}
|
||
44 & 0 & 0 & 0 \\
|
||
22 & 0 & 0 & 66 \\
|
||
11 & 0 & 35 & 0 \\
|
||
6.6 & 0 & 0 & 5.5 \\
|
||
0 & 0 & 1 & 0 \\
|
||
\end{pmatrix},
|
||
\mathbf{workTime[2]} =
|
||
\begin{pmatrix}
|
||
96 & 18 & 0 & 0 \\
|
||
48 & 3 & 0 & 96 \\
|
||
24 & 0 & 140 & 0 \\
|
||
14.4 & 1.2 & 0 & 8 \\
|
||
0 & 1.5 & 4 & 0 \\
|
||
\end{pmatrix},
|
||
\end{displaymath}
|
||
\begin{displaymath}
|
||
\mathbf{workTime[3]} =
|
||
\begin{pmatrix}
|
||
20 & 174 & 0 & 0 \\
|
||
10 & 29 & 0 & 126 \\
|
||
5 & 0 & 105 & 0 \\
|
||
3 & 11.6 & 0 & 10.5 \\
|
||
0 & 14.5 & 3 & 0 \\
|
||
\end{pmatrix}
|
||
\end{displaymath}
|
||
|
||
Kompletne wyniki działania solvera (wraz z macierzą lowerProfit) znajdują się w pliku solutions1.txt
|
||
\subsection{Wnioski}
|
||
\addcontentsline{toc}{subsection}{Wnioski}
|
||
Na podstawie przeprowadzonej analizy można stwierdzić, że zdolności produkcyjne przedsiębiorstwa znacznie przewyższają chłonność rynku. W kontekście
|
||
maksymalizacji zysku, w określonych miesiącach ekonomicznie uzasadniona jest sprzedaż poszczególnych produktów mimo przekroczenia 80\% pojemności rynkowej.
|
||
Optymalna strategia nie wymaga gromadzenia zapasów ponad obligatoryjne minimum magazynowe.
|
||
|
||
\section{Model dwukryterialny zysku i ryzyka}
|
||
\addcontentsline{toc}{section}{Model dwukryterialny zysku i ryzyka}
|
||
|
||
\subsection{Model zadania}
|
||
\addcontentsline{toc}{subsection}{Model zadania}
|
||
W ramach niniejszego zadania zastosowano model przedsiębiorstwa identyczny z tym wykorzystanym w pierwszej części analizy.
|
||
Kryterium zysku jest nadal reprezentowane przez wartość oczekiwaną, która dla scenariuszy charakteryzujących się jednakowym
|
||
prawdopodobieństwem wystąpienia jest równoważna wartości średniej. Kryterium ryzyka zostało zdefiniowane przy użyciu średniej
|
||
różnicy Giniego, opisanej poniższą formułą:
|
||
\begin{equation}
|
||
\Gamma(\mathbf{x})=\frac{1}{2}\sum_{t'=1}^{T}\sum_{t"=1}^{T}\lvert r_{t'}(\mathbf{x})-r_{t"}(\mathbf{x})\rvert p_{t'}p_{t"},
|
||
\end{equation}
|
||
gdzie $r_{t'}(\mathbf{x})$ reprezentuje wartość zysku osiągniętą w scenariuszu $t'$, natomiast $p_{t}$ określa prawdopodobieństwo wystąpienia scenariusza $t$.
|
||
|
||
Wykorzystując notację zastosowaną w niniejszym projekcie, formula określająca miarę ryzyka przyjmuje następującą formę:
|
||
\begin{multline}
|
||
riskMeasureGini = \frac{1}{2}\cdot\sum_{t1 \in scenarios}\sum_{t2 \in scenarios} \lvert profit[t1]-profit[t2] \rvert \cdot \\ \frac{1}{numberOfScenarios} \cdot \frac{1}{numberOfScenarios}
|
||
\end{multline}
|
||
|
||
\subsection{Model preferencji}
|
||
\addcontentsline{toc}{subsection}{Model preferencji}
|
||
Model preferencji oparto na minimalizacji ryzyka przy zadanym poziomie średniego zysku.
|
||
\begin{equation}
|
||
averageProfit<minimalAverageProfit
|
||
\end{equation}
|
||
\begin{equation}
|
||
minimize riskMeasureGini
|
||
\end{equation}
|
||
minimalAverageProfit stanowi dodatkowy parametr modelu. Pliki wdwr25406-3.dat i wdwr25406-3.mod i modelem zadania dwukryterialnego wyboru -
|
||
pliki źródłowe przeznaczone dla solvera CPLEX.
|
||
|
||
\subsection{Zbiór rozwiązań efektywnych w przestrzeni ryzyko-zysk}
|
||
\addcontentsline{toc}{subsection}{Zbiór rozwiązań efektywnych w przestrzeni ryzyko-zysk}
|
||
Na rysunku \ref{fig:profit-risk} przedstawiono krzywa efektywności w przestrzeni ryzyko-zysk.
|
||
Punkty reprezentują rozwiązania efektywne
|
||
uzyskane dla różnych poziomów wymaganego zysku. Ze względu na ograniczenia obliczeniowe,
|
||
wygenerowano 20 równomiernie rozłożonych punktów,
|
||
przy czym każdy z nich opiera się na 30 scenariuszach. Ustalono limit czasowy działania solvera
|
||
na 10 sekund dla pojedynczego rozwiązania (wydłużenie tego limitu przyniosło jedynie niewielką
|
||
poprawę dokładności przy znacząco zwiększonym czasie obliczeń).
|
||
W plikach wdwr25406-3.dat oraz wdwr25406-3.mod znajdują się definicje parametrów i
|
||
modelu wraz z implementacją dla solvera CPLEX.
|
||
Wartości ekstremalne - maksymalny zysk oraz
|
||
minimalne ryzyko - zostały zestawione w poniższej tabeli
|
||
\begin{figure}[H]
|
||
\centering
|
||
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{graphics/ryzyko_zysk_wykres.png}
|
||
\caption{Obraz zbioru rozwiązań efektywnych w przestrzeni ryzyko-zysk}
|
||
\label{fig:profit-risk}
|
||
\end{figure}
|
||
|
||
\subsection{Rozwiązania efektywne minimalnego ryzyka i maksymalnego zysku}
|
||
\addcontentsline{toc}{subsection}{Rozwiązania efektywne minimalnego ryzyka i maksymalnego zysku}
|
||
|
||
\begin{table}[H]
|
||
\label{tab:min-max}
|
||
\caption{Rozwiązania maksymalnego zysku i minimalnego ryzyka}
|
||
\centering
|
||
\begin{tabular}{l*{4}{c}}
|
||
|
||
\hline
|
||
& Miara zysku & Miara ryzyka \\
|
||
\hline
|
||
Maksymalizacja zysku & 9515.80 zł & 360.18 zł \\
|
||
Minimalizacja ryzyka & -600.00 zł & 0.0 zł \\
|
||
\hline
|
||
|
||
\end{tabular}
|
||
\end{table}
|
||
|
||
Rozwiązanie zadania jednokryterialnego maksymalizacji zysku charakteryzuje się również maksymalizacją poziomu ryzyka, podczas gdy zadanie
|
||
minimalizacji ryzyka bez nałożenia ograniczeń na poziom zysku prowadzi do ujemnego wyniku finansowego (straty) wynikającego z rezygnacji ze
|
||
sprzedaży oraz ponoszenia kosztów utrzymania obligatoryjnych zapasów magazynowych.
|
||
|
||
\subsection{Dominacja stochastyczna wybranych rozwiązań efektywnych}
|
||
\addcontentsline{toc}{subsection}{Dominacja stochastyczna wybranych rozwiązań efektywnych}
|
||
Do weryfikacji relacji dominacji stochastycznej pierwszego rzędu (FSD) zostały wybrane 3 rozwiązania efektywne modelu: Scenariusze 1, 2 i 3,
|
||
Parametry charakteryzujące średni zysk i miarę ryzyka dla analizowanych rozwiązań przedstawiono w tabeli \ref{tab:abc}.
|
||
Implementacja parametrów oraz modelu została zawarta w plikach wdwr25406-4.dat i wdwr25406-4.mod - skrypty przeznaczone dla solvera CPLEX
|
||
służące do generowania informacji o zysku i ryzyku w ramach poszczególnych scenariuszy.
|
||
|
||
\begin{table}[H]
|
||
\label{tab:abc}
|
||
\caption{Scenariusze wybrane do analizy dominacji FSD}
|
||
\centering
|
||
\begin{tabular}{lccc}
|
||
\hline
|
||
& 1 & 2 & 3 \\
|
||
\hline
|
||
Ograniczenie minimalnego zysku & 8450.97 zł & 8983.38 zł & 9515.79 zł\\
|
||
Średni zysk & 8451.02 zł & 8983.40 zł & 9515.80 zł\\
|
||
Miara ryzyka & 306.38 zł & 332.93 zł & 360.18 zł\\
|
||
\hline
|
||
\end{tabular}
|
||
\end{table}
|
||
|
||
Aby określić relacje dominacji między wybranymi rozwiązaniami w kontekście FSD, zbudowano odwrotne dystrybuanty
|
||
dla obydwu analizowanych kryteriów. Rysunek \ref{fig:FSD-profit} prezentuje odwrotną dystrybuantę rozkładu średniego
|
||
zysku w poszczególnych scenariuszach dla trzech wybranych rozwiązań efektywnych. Z analizy wykresu wynika,
|
||
że rozwiązanie dla scenariusza 3 przewyższa rozwiązania scenariusza 1 i 2 w kontekście dominacji stochastycznej pierwszego rzędu,
|
||
oznaczając, że dla każdego scenariusza wartość zysku osiągana przez decyzję 3 jest wyższa niż
|
||
odpowiadające jej wartości dla decyzji 1 i 2. Jednocześnie rozwiązanie 2 dominuje nad rozwiązaniem 1
|
||
w sensie dominacji stochastycznej pierwszego rzędu.
|
||
|
||
\begin{figure}[H]
|
||
\centering
|
||
\includegraphics[width=\textwidth]{graphics/zysk_dystrybuanta.png}
|
||
\caption{Odwrotna dystrybuanta rozkładu średniego zysku między scenariuszami}
|
||
\label{fig:FSD-profit}
|
||
\end{figure}
|
||
Rysunek \ref{fig:FSD-risk} prezentuje odwrotną dystrybuantę rozkładu średniej różnicy Giniego jako miary ryzyka dla
|
||
tych samych trzech rozwiązań efektywnych. W zakresie miary ryzyka rozwiązanie 1 charakteryzuje się dominacją
|
||
nad rozwiązaniami 2 i 3, rozwiązanie 2 wykazuje również jednoznaczną dominację względem rozwiązania 3.
|
||
|
||
\begin{figure}[H]
|
||
\centering
|
||
\includegraphics[width=\textwidth]{graphics/ryzyko_dystrybuanta.png}
|
||
\caption{Odwrotna dystrybuanta rozkładu średniej różnicy Giniego między scenariuszami}
|
||
\label{fig:FSD-risk}
|
||
\end{figure}
|
||
|
||
|
||
\end{document} |