\documentclass{article}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[polish]{babel} 
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{booktabs}
\usepackage{hyperref}
\usepackage{longtable}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{float}
\usepackage{minted}

\title{WDWR, sprawozdanie}
\author{Krzysztof Rudnicki, 307585}
\date{\today}

\begin{document}

\maketitle
\tableofcontents

\section*{WDWR 25406}

Rozważamy następujące zagadnienie planowania produkcji:

\begin{itemize}
\item Przedsiębiorstwo wytwarza 4 produkty P1, 
\ldots, P4 na następujących maszynach: 
4 szlifierkach, 2 wiertarkach pionowych, 
3 wiertarkach poziomych, 1 frezarce i 1 tokarce. 
Wymagane czasy produkcji 1 sztuki produktu (w godzinach) 
w danym procesie obróbki zostały przedstawione w poniższej 
tabeli:
\end{itemize}

\begin{table}[H]
\centering
\begin{tabular}{|l|c|c|c|c|}
\hline
                   & P1   & P2   & P3   & P4   \\
\hline
Szlifowanie       & 0,4  & 0,6  & —    & —    \\
\hline
Wiercenie pionowe & 0,2  & 0,1  & —    & 0,6  \\
\hline
Wiercenie poziome & 0,1  & —    & 0,7  & —    \\
\hline
Frezowanie        & 0,06 & 0,04 & —    & 0,05 \\
\hline
Toczenie          & —    & 0,05 & 0,02 & —    \\
\hline
\end{tabular}
\end{table}

\begin{itemize}
\item Dochody ze sprzedaży produktów (w zł/sztukę) 
modelują składowe wektora losowego 
\textbf{R} = ($R_1, \ldots, R_4$)$^T$. 
Wektor losowy \textbf{R} opisuje 4-wymiarowy rozkład 
$t$-Studenta z 5 stopniami swobody, 
którego wartości składowych zostały zawężone do przedziału 
[5; 12]. Parametry $\mu$ oraz $\mathbf{\Sigma}$ 
niezawężonego rozkładu $t$-Studenta są następujące:

$$
\mu = \begin{pmatrix} 9 \\ 8 \\ 7 \\ 6 \end{pmatrix}, \qquad \Sigma = \begin{pmatrix} 16 & -2 & -1 & -3 \\ -2 & 9 & -4 & -1 \\ -1 & -4 & 4 & 1 \\ -3 & -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
$$
\end{itemize}

\begin{itemize}
\item Istnieją ograniczenia rynkowe na liczbę sprzedawanych produktów w danym miesiącu:
\end{itemize}

\begin{table}[H]
\centering
\begin{tabular}{|l|c|c|c|c|}
\hline
         & P1  & P2  & P3  & P4  \\
\hline
Styczeń & 200 & 0   & 100 & 200 \\
\hline
Luty    & 300 & 100 & 200 & 200 \\
\hline
Marzec  & 0   & 300 & 100 & 200 \\
\hline
\end{tabular}
\end{table}

\begin{itemize}
\item Jeżeli sprzedaż danego produktu przekracza 80 procent ilości jaką może wchłonąć rynek, jego
dochód spada o 20 procent.
\item Istnieje możliwość składowania do 200 sztuk każdego produktu w danym czasie w cenie 1 zł/sztukę za miesiąc. Aktualnie firma nie posiada żadnych zapasów, ale jest pożądane mieć po 50 sztuk każdego produktu pod koniec marca.
\item Przedsiębiorstwo pracuje 6 dni w tygodniu w systemie dwóch zmian. Każda zmiana trwa 8 godzin. Można założyć, że każdy miesiąc składa się z 24 dni roboczych.
\item 1. Zaproponować jednokryterialny model wyboru w warunkach ryzyka z wartością oczekiwaną jako miarą zysku. Wyznaczyć rozwiązanie optymalne.
\item 2. Jako rozszerzenie powyższego zaproponować dwukryterialny model zysku i ryzyka z wartością średnią jako miarą zysku i średnią różnicą Giniego jako miarą ryzyka. Dla decyzji $\mathbf{x} \in Q$ średnia różnica Giniego jest definiowana jako $\Gamma(\mathbf{x}) = \frac{1}{2} \sum_{t'=1}^{T} \sum_{t''=1}^{T} |r^{t'}(\mathbf{x}) - r^{t''}(\mathbf{x})|p^{t'}p^{t''}$, gdzie $r^t(\mathbf{x})$ oznacza realizację dla scenariusza $t$, $p^t$ prawdopodobieństwo scenariusza $t$.
    \begin{itemize}
    \item a. Wyznaczyć obraz zbioru rozwiązań efektywnych w przestrzeni ryzyko–zysk.
    \item b. Wskazać rozwiązania efektywne minimalnego ryzyka i maksymalnego zysku. Jakie odpowiadają im wartości w przestrzeni ryzyko–zysk?
    \item c. Wybrać trzy dowolne rozwiązania efektywne. Sprawdzić czy zachodzi pomiędzy nimi relacja dominacji stochastycznej pierwszego rzędu. Wyniki skomentować, odnieść do ogólnego przypadku.
    \end{itemize}
\end{itemize}

\section{Jednokryterialny model wyboru w warunkach ryzyka z wartością oczekiwaną jako miarą zysku}

W celu rozwiązania postawionego zadania dokonano sformułowania modelu programowania liniowego całkowitoliczbowego. Poniżej przedstawiono zapis matematyczny modelu.

\subsection{Zbiory indeksowe}

\begin{table}[H]
\centering
\begin{tabular}{|l|l|}
\hline
Zbiór & Opis \\
\hline
P = P1, \ldots, P4 & Zbiór wytwarzanych produktów \\
\hline
T = T1, \ldots, T5 & Zbiór typów narzędzi wykorzystywanych przy produkcji \\
\hline
M = M1, M2, M3 & Zbiór kolejnych miesięcy produkcji \\
\hline
\end{tabular}
\end{table}

\subsection{Parametry}

\begin{table}[H]
\centering
\begin{tabular}{|l|p{10cm}|}
\hline
Parametr & Opis \\
\hline
$tc_t$ & Liczba narzędzi typu t [szt] \\
\hline
$eppu_p$ & Oczekiwany zysk ze sprzedaży jednej sztuki produktu $p$ [zł] \\
\hline
$ttpu_{tp}$ & Czas wykorzystania maszyny typu $t$ przy produkcji jednej sztuki produktu $p$ [godz] \\
\hline
$smlm_p$ & Limit sprzedaży produktu $p$ w miesiącu $m$ [szt] \\
\hline
$stl_p$ & Limit pojemności magazynu na produkt $p$ [szt] \\
\hline
$stcp_u$ & Koszt magazynowania jednej sztuki dowolnego produktu [zł] \\
\hline
$st0_p$ & Początkowy stan magazynowy produktu $p$ [szt] \\
\hline
$dst_p$ & Porządany końcowy stan magazynowy produktu $p$ [szt] \\
\hline
$dp_m$ & Liczba dni roboczych w każdym miesiącu [d] \\
\hline
$sp_d$ & Liczba zmian w każdym dniu roboczym [j] \\
\hline
$whp_s$ & Liczba godzin roboczych w ciągu każdej zmiany [godz] \\
\hline
$whp_m = dp_m \cdot sp_d \cdot hp_s$ & Liczba godzin roboczych w ciągu każdego miesiąca [godz] \\
\hline
$att_t = tc_t \cdot whp_m$ & Dostępna liczba godzin roboczych maszyn typu $t$ w ciągu każdego miesiąca [godz] \\
\hline
\end{tabular}
\end{table}

\subsection{Zmienne}

\renewcommand{\arraystretch}{1.5} % Increase row height
\begin{table}[H]
\centering
\begin{tabular}{|l|p{10cm}|}
\hline
Zmienna & Opis \\
\hline
$p_{mp}$ & Liczba sztuk produktu $p$ wyprodukowanych w miesiącu $m$ [szt] \\
\hline
$s_{mp}$ & Liczba sztuk produktu $p$ sprzedanych w miesiącu $m$ [szt] \\
\hline
$ts_p = \sum_{m \in M} s_{mp}$ & Całkowita liczba sprzedanych sztuk produktu $p$ \\
\hline
$std_{mp} = p_{mp} - s_{mp}$ & Liczba sztuk produktu $p$ zmagazynowanych w miesiącu $m$ [szt] \\
\hline
$stg_{mp} = st0_p + \sum\limits_{m2=1}^{m} std_{m2p}$ & Stan magazynowy produktu $p$ na koniec miesiąca $m$ [szt] \\
\hline
$uttm_t = \sum\limits_{p \in P} p_{mp} \cdot ttpu_{tp}$ & Wykorzystanie czasu pracy maszyny typu $t$ w miesiącu $m$ [godz] \\
\hline
$tstc = stcp_u \cdot \sum\limits_{m \in M} \sum\limits_{p \in P} stg_{mp}$ & Całkowity koszt wykorzystania magazynów [zł] \\
\hline
$b_{mp}$ & Zmienna binarna określająca czy sprzedaż produktu $p$ w miesiącu $m$ przekracza 80\% limitu rynkowego \\
\hline
$eppu_{mp} = eppu_p \cdot (1 - 0.2 \cdot b_{mp})$ & Skorygowany zysk jednostkowy dla produktu $p$ w miesiącu $m$ uwzględniający spadek o 20\% jeśli sprzedaż przekracza 80\% limitu rynkowego [zł] \\
\hline
$ep = \sum\limits_{m \in M} \sum\limits_{p \in P} (s_{mp} \cdot eppu_{mp}) - tstc$ & Wartość zysku całkowitego dla wartości oczekiwanych zysku ze sprzedaży produktów [zł] \\
\hline
\end{tabular}
\end{table}
\renewcommand{\arraystretch}{1} % Reset to default value

\subsection{Ograniczenia}

Ograniczenie rynkowe sprzedawanych produktów:

$s_{mp} \leq smlm_p, \quad \forall m \in M, \forall p \in P$

Ograniczenie sprzedaży produktów w pierszym miesiącu:

$$s_{1p} \leqslant p_{1p}, \quad \forall p \in P$$

Ograniczenie sprzedaży produktów w kolejnych miesiącach:

$$s_{mp} \leqslant p_{mp} + stg_{mp}, \quad \forall m \in M \backslash \{1\}$$

Ograniczenie pojemności magazynów:

$$stg_{mp} \leqslant stl_p, \quad \forall p \in P$$

Ograniczenie na pożądany stan magazynowy na koniec miesiąca 3:

$$stg_{3p} \geqslant dst_p, \quad \forall p \in P$$

Ograniczenie wykorzystania czasu pracy narzędzi w danym miesiącu:

$uttm_t \leq att_t, \quad \forall t \in T, \forall m \in M$

Ograniczenie identyfikujące przekroczenie 80\% limitu rynkowego:

$$s_{mp} \leq 0.8 \cdot smlm_p + M \cdot b_{mp}, \quad \forall m \in M, \forall p \in P$$

$$s_{mp} \geq 0.8 \cdot smlm_p - M \cdot (1 - b_{mp}) + \varepsilon, \quad \forall m \in M, \forall p \in P$$

gdzie $M$ jest dostatecznie dużą liczbą, a $\varepsilon$ jest małą liczbą dodatnią.

\subsection{Funkcja celu}

Jako funkcję celu przyjęto maksymalizację wartości oczekiwanej zysku: $maximize \; ep$

\section{Dwukryterialny model zysku i ryzyka z wartoscią oczekiwaną jako miarą zysku i odchyleniem maksymalnym jako miarą ryzyka}

Model ten został zrealizowany jako rozszerzenie modelu jednokryterialnego o dodatkowe zbiory, parametry, zmienne, ograniczenia i nową funkcję celu.

\subsection{Zbiory indeksowe}

\begin{table}[H]
\centering
\begin{tabular}{|l|l|}
\hline
Zbiór & Opis \\
\hline
S = S1, \ldots, S1000 & Zbiór scenariuszy wygenerowanych z rozkładu t-Studenta \\
\hline
\end{tabular}
\end{table}

\subsection{Parametry}

\begin{table}[H]
\centering
\begin{tabular}{|l|l|}
\hline
Parametr & Opis \\
\hline
$sppu_{ps}$ & Zysk ze sprzedaży jednej sztuki produktu $p$ w scenariuszu $s$ [zł] \\
\hline
\end{tabular}
\end{table}

\subsection{Zmienne}
inputminted
\begin{table}[H]
\centering
\begin{tabular}{|l|p{10cm}|}
\hline
Zmienna & Opis \\
\hline
$sp_s = \sum_{p \in P} (ts_p \cdot sppu_{ps}) - tstc$ & Wartość zysku całkowitego dla scenariusza $s$ zysku ze sprzedaży produktów [zł] \\
\hline
$dev_s = ep - sp_s$ & Odchylenie zysku w danym scenariuszu [zł]. Jako, że funkcja wartości bezwzględnej jest nieliniowa zmienna została poddana linearyzacji z użyciem zmiennych $ldev_s$, $P_s$, $Q_s$ \\
\hline
$ldev_s = ep - sp_s$ & Zmienna pomocnicza wykorzystana w linearyzacji odchylenia zysku w scenariuszu $s$ \\
\hline
$P_s$ & Zmienna pomocnicza wykorzystana w linearyzacji zmiennejk $dev_s$ \\
\hline
$Q_s$ & Zmienna pomocnicza wykorzystana w linearyzacji zmiennej $dev_s$ \\
\hline
$mdev = \max_{s \in S} dev_s$ & Maksymalne odchylenie zysu [zł]. Jako, że funkcja max jest nie liniowa, zmienna została poddana linearyzacji z użyciem zmiennych $M$, $Z_s$ \\
\hline
$M$ & Zmienna pomocnicza wykorzystana w linearyzacji zmiennej $mdev$ \\
\hline
$Z_s$ & Zmienna pomocnicza binarna wykorzystana w linearyzacji zmiennej $mdev$ \\
\hline
$r = mdev$ & Miara ryzyka, równa maksymalnemu odchyleniu zysku \\
\hline
\end{tabular}
\end{table}

\subsection{Ograniczenia}

Ograniczenie związane z linearyzacją zmiennej $dev_s$:

$$lde v_{s1} - lde v_{s2} + P_{s1} - Q_{s2} = 0, \quad \forall s_1, s_2 \in S$$

Ograniczenie związane z linearyzację zmiennej $mdev$:

$$mdev \geqslant dev_s, \quad \forall s \in S$$

$$mdev \leqslant dev_s + M(1 - Z_s), \quad \forall s \in S$$

$$\sum_{s \in S} Z_s = 1$$

\subsection{Metoda punktu odniesienia}

Jako model preferencji dla modelu dwukryterialnego została wybrana metoda punktu odniesienia. Wprowadza ona zestaw dodatkowych parametrów i zmiennych:

\begin{table}[H]
\centering
\begin{tabular}{|l|p{10cm}|}
\hline
Parametr & Opis \\
\hline
$asp_{ep}$ & Poziom aspiracji oczekiwanego zysku \\
\hline
$asp_r$ & Poziom aspiracji ryzyka \\
\hline
$\lambda_{ep}$, $\lambda_r$ & Współczynniki normalizujące, odpowiednio dla zysku i ryzyka. Ze względu na ogólne sformułowanie metody punktu odniesienia jako problemu maksymalizacji, $\lambda_{ep}$ przyjmie wartość dodatnią, a $\lambda_r$ ujemną. \\
\hline
$\beta$ & Współczynnik pomniejszający wartość ocen wykraczających powyżej poziomu aspiracji \\
\hline
$\varepsilon$ & Współczynnik składnika regularyzacyjnego \\
\hline
\end{tabular}

\begin{tabular}{|l|l|}
\hline
Zmienne & Opis \\
\hline
$oc_{ep}$, $oc_r$ & Wartości indywidualnych funkcji osiągnięć dla zysku i ryzyka \\
\hline
$v$ & Zmienna pomocnicza metody punktu odniesienia \\
\hline
\end{tabular}
\end{table}

Ograniczenia zmiennej $v$ przez wartości indywidualnych funkcji osiągnięć:

$v \leq oc_{ep}$ oraz $v \leq oc_r$

Ograniczenia indywidualnych funkcji osiągnięć:

$$oc_r \leqslant \lambda_r (r - asp_r)$$

$$oc_r \leqslant \beta \lambda_r (r - asp_r)$$

$$oc_{ep} \leqslant \lambda_p (ep - asp_{ep})$$

$$oc_{ep} \leqslant \beta \lambda_p (ep - asp_{ep})$$

Funkcja celu metody punktu odniesienia w postaci dla programowania liniowego:

$$\max \quad v + \varepsilon (oc_{ep} + oc_r)$$

\section{Wyznaczenie parametrów zadania z rozkładu t-Studenta}

W celu wyznaczenia wartości oczekiwanej wektora $R$ (odpowiadającą parametrowi modelu $eppu_p$) wykorzystano następującą zależność:

$$E(R) = \mu + \sigma \cdot \frac{\Gamma(\frac{\nu - 1}{2})((\nu + a^2)^{-\frac{\nu - 1}{2}} - (\nu + b^2)^{\frac{\nu - 1}{2}})\nu^{\frac{\nu}{2}}}{2(F_{\nu}(b) - F_{\nu}(a))\Gamma(\frac{\nu}{2})\Gamma(\frac{1}{2})}$$

gdzie:

\begin{itemize}
\item $\mu$ wartość oczekiwana dla $R$,
\item $\Gamma$ funkcja gamma Eulera,
\item $\nu$ liczba stopni swobody,
\item $F$ dystrybuanta standardowego rozkładu t-Studenta $t(0, 1; \nu)$ z $\nu$ stopniami swobody,
\item $a = \frac{\alpha-\mu}{\sigma}$, gdzie $\alpha$ to lewy kraniec przedziału,
\item $b = \frac{\beta-\mu}{\sigma}$, gdzie $\beta$ to prawy kraniec przedziału.
\end{itemize}

Otrzymano wartości:

$E(R)^T = [8.5094, 8.4710, 8.1319, 6.3944]$

Do obliczenia wartości oczekiwanej oraz wyznaczenia scenariuszy wykorzystano skrypt napisany w języku $R$. Wygenerowano 100 scenariuszy testowtych. Użyty skrypt przedstawia Listing 1.

Listing 1: Skrypt w języku $R$ do obliczania wartości oczekiwanej wektora $R$ i generowania scenariuszy z rozkładu t-Studenta.

\inputminted[autogobble]{R}{../WDWR.r}

\section{Model dla programu AMPL}

\subsection{Plik z modelem (.mod)}

\inputminted[autogobble]{R}{../WDWR1.mod}

\subsection{Plik z danymi (.dat)}

\begin{verbatim}
1 # ##########################################################
2 # WDWR 25406 #
3 # Planowanie produkcj w warunkach ryzyka. #
4 # DANE #
5 # Autor : Krzysztof Rudnicki #
6 # ##########################################################
7
8 # Narzedzia
9 set TOOLS := GRINDER VDRILL HDRILL MILLER LATHE ;
10
11 # Miesiace
12 set MONTHS := JAN FEB MAR ;
13
14 # Liczba narzedzi
15 param toolCount :=
16 GRINDER 4
17 VDRILL 2
18 HDRILL 3
19 MILLER 1
20 LATHE 1
21 ;
22
23 # Czasy produkcji h
24 param toolTimePerUnit :
25 P1 P2 P3←-
                                   P4 :=
26 GRINDER 0 .4 0 .6 0 ←-
              0
27 VDRILL 0 .2 0 .1 0 ←-
              0 .6
28 HDRILL 0 .1 0 0 .7 ←-
              0
29 MILLER 0 .06 0 .04 0 0 .05
30 LATHE 0 0 .05 0 .02 0
31 ;
32
33 # Ograniczenia rynkowe liczby sprzedawanych produktow pcs
34 param salesMarketLimit :
35 P1 P2 P3 ←-
                            P4 :=
36 JAN 200 0 100 ←-
              200
37 FEB 300 100 200 ←-
              200
38 MAR 0 300 100 ←-
              200
39 ;
40
41 # Ograniczeine liczby magazynowanych produktow pcs
42 param storageLimit :=
43 P1 200
44 P2 200
45 P3 200
46 P4 200
\end{verbatim}

\begin{verbatim}
47 ;
48
49 # Koszt magazynowania produktow pln/pcs per month
50 param storageUnitCost := 1;
51
52 # Aktualny stan magazynowy pcs
53 param startingStorage :=
54 P1 0
55 P2 0
56 P3 0
57 P4 0
58 ;
59
60 # Pozadany stan magazynowy na koniec marca pcs
61 param desiredEndStorage :=
62 P1 50
63 P2 50
64 P3 50
65 P4 50
66 ;
67
68 # Liczba dni roboczych w miesiacu d
69 param daysPerMonth := 24;
70
71 # Liczba zmian w ciagu jednego dnia roboczego
72 param shiftsPerDay := 2;
73
74 # Dlugosc zmiany h
75 param hoursPerShift := 8;
76
77 # Zyski wartosc oczekiwana
78 param expectedProfitPerUnit :=
79 P1 8 .50944172786882
80 P2 8 .47100593224391
81 P3 8 .1319049712769
82 P4 6 .39446520538826
83 ;
84
85 # Metoda punktu odniesienia
86 param epsilon = 0 .000025 ;
87
88 param beta = 0 .001 ;
89
90 param utopia :=
91 PROFIT 11987
92 RISK 1000
93 ;
94
95 param nadir :=
96 PROFIT -2400
97 RISK 2815
98 ;
99
100 param aspiration :=
101 PROFIT 10000
102 RISK 0
\end{verbatim}


\subsection{Skrypty uruchomieniowe (.run)}

\inputminted[autogobble]{R}{../WDWR1.run}

\section{Rozwiązanie zadania optymalizacji}

\subsection{Wyniki dla modelu jednokryterialnego}

$s_{mp}$ oraz wartość wyznaczonego rozwiązania optymalnego:

$ep = 13943.26177[z]$

Listing 7: Wynik działania skryptu wyznaczającego rozwiązanie optymalne modelu jednokryterialnego.

\begin{verbatim}
#################################################
### Maximize profit for expected profit value ###
#################################################
CPLEX 22.1.2: optimal solution; objective 13943.26177
7 simplex iterations
produced :=
JAN P1   200
JAN P2     0
JAN P3   100
JAN P4   200
FEB P1   300
FEB P2   100
FEB P3   200
FEB P4   200
MAR P1    50
MAR P2   350
MAR P3   150
MAR P4   250
;

sold :=
JAN P1   200
JAN P2     0
JAN P3   100
JAN P4   200
FEB P1   300
FEB P2   100
FEB P3   200
FEB P4   200
MAR P1     0
MAR P2   300
MAR P3   100
MAR P4   200
;

stored :=
JAN P1    0
JAN P2    0
JAN P3    0
JAN P4    0
FEB P1    0
FEB P2    0
FEB P3    0
FEB P4    0
MAR P1   50
MAR P2   50
MAR P3   50
MAR P4   50
;

Profit: 13943.261775                                     
\end{verbatim}

52 Profit: 13943.261775

\begin{figure}[H]
\centering
%\includegraphics[width=\linewidth]{_page_0_Figure_0.jpeg}
\caption{Obraz zbioru rozwiązań efektywnych w przestrzeni ryzyko-zysk}
\label{fig:solutions}
\end{figure}

\subsection{Wyniki dla modelu dwukryterialnego}

\subsubsection{Obraz zbioru rozwiązań efektywnych w przestrzeni ryzyko-zysk}

Obraz zbioru rozwiązań efektywnch w przestrzeni ryzyko-zysk został uzyskany poprzez rozwiązanie zadania metody punktu odniesienia dla różnych wartości aspiracji dla zysku oraz ryzyka. Do wykonania obliczeń posłużono się skryptem przedstawionym na Listing 7. Obliczenia przeprowadzono ustalając poziomy aspiracji w wyznaczonych granicach zmienności zysku i ryzyka (wektory nadiru i utopii wyznaczone w kolejnej sekcji). Dla każdego poziomu aspiracji wykorzystano po 10 równoodległych wartości znajdujących się w przedziałach definiowanych przez wektory nadiru i utopii.

Ze względu na duży rozmiar zadania, a przez długi czas obliczeń przy 1000 scenariuszach, zdecydowano się ograniczyć ich liczbę do 50. Niestety nie jest to liczba wystarczająca do przeprowadzenia dokładnych obliczeń, jednak uzyskane wyniki powinny być wystarczające do przedstawienia działania metody.

Fragment wyników działania skryptu obliczeniowego przedstawia Listing 8. Obraz zbioru rozwiązań efektywnych w przestrzeni ryzyko-zysk pokazuje Rysunek 1.

Listing 8: Skrypt obliczający wartości do wyznaczenia obrazu zbioru rozwiązań efektywnych w przestrzeni ryzyko-zysk. Pełne wyniki dostępne w załączniku.

\begin{verbatim}
1 ### 39: Solving model for aspirations : 2395 .666667 , 312 .777778
2 CPLEX 12 .8.0.0 : optimal integer solution within mipgap or absmipgap ; ←-
      objective 5 .427722957e -07
3 39 MIP simplex iterations
4 0 branch -and - bound nodes
5 absmipgap = 7 .81092e -07 , relmipgap = 1 .43881
\end{verbatim}

\begin{verbatim}
6 Profit : 2417 .827519
7 Risk : 311 .250020
8 RPM : 0 .000001
9 ### 40: Solving model for aspirations : 2395 .666667 , 0 .000000
10 CPLEX 12 .8.0.0 :
11 < BREAK > ( cplex )
12 CPLEX solution status 13 with fixed integers :
13 aborted in phase II
14 aborted , integer solution exists ; objective -0 .06697476417
15 116486 MIP simplex iterations
16 103313 branch -and - bound nodes
17 absmipgap = 6 .93933e -05 , relmipgap = 0 .00103611
18 Profit : 1432 .148909
19 Risk : 188 .510726
20 RPM : -0 .066975
\end{verbatim}

Rozwiązania efektywne minimalnego ryzyka i maksymalnego zysku

Rozwiązania efektywne dla minimalnego ryzyka i maksymalnego zysku wyznaczono wykorzystując skrypt przedstawiony na listingu Listing 4. Na podstwaie wyników jego działania, które przedstawia Listing 9 można podać następujące rozwiązania:

\begin{itemize}
\item Minimalne ryzyko: $ep = -1000$, przy $r = 0$,
\item Maksymalny zysk: $ep = 11987$, przy $r = 2569$
\end{itemize}

Dodatkowo poza zakresem zadania wyznaczonon pozostałe elementy potrzebne do wyznaczenia wektorów nadiru i utopii:

\begin{itemize}
\item Maksymalne ryzyko: $ep = 9193$, przy $r = 2815$,
\item Minimalny zysk: $ep = -2400.00$, przy $r = 0.00$
\end{itemize}

$$\text{Wektor nadiru: } (-2400, 2815)$$

Wektor utopii: $(0, 11987)$

Listing 9: Skrypt wyznaczający rozwiązania optymalne modelu dwukryterialnego.

\begin{verbatim}
1 # ########################
2 ### Minimizing profit ###
3 # ########################
4 CPLEX 12 .8.0.0 : optimal integer solution ; objective -2400
5 7 MIP simplex iterations
6 0 branch -and - bound nodes
7 Profit : -2400
8 Risk : 0
9
10 # ########################
11 ### Maximizing profit ###
12 # ########################
13 CPLEX 12 .8.0.0 : optimal integer solution ; objective 11987 .41899
14 32 MIP simplex iterations
15 0 branch -and - bound nodes
16 Profit : 11987
17 Risk : 2569
18
\end{verbatim}

\begin{verbatim}
19 # ######################
20 ### Minimizing risk ###
21 # ######################
22 CPLEX 12 .8.0.0 : optimal integer solution ; objective 0
23 0 MIP simplex iterations
24 0 branch -and - bound nodes
25 Profit : -1000
26 Risk : 0
27
28 # #######################
29 ### Maximizing risk k###
30 # #######################
31 CPLEX 12 .8.0.0 : optimal integer solution ; objective 2815 .995263
32 21837 MIP simplex iterations
33 705 branch -and - bound nodes
34 Profit : 9193
35 Risk : 2815
\end{verbatim}

\subsubsection{Analiza relacji dominacji stochastycznej dla trzech wybranych rozwiązań efektywnych}

Do analizy wybrano następujące scenariusze:

\begin{enumerate}
\item Maksymalny zysk $ep = 11987.42$,
\item Poziomy aspiracji $aspep = 8789.89$ oraz $asp^r = 1876.67$,
\item Poziomy aspiracji $aspep = 10388.44$ oraz $asp^r = 938.33$.
\end{enumerate}

Dane do analizy zostały wygenerowane w trakcie przeprowadzania obliczeń do poprzednich podpunktów i są dostępne w załącznikach.

Dystrybuanty zysku przedstawia Rysunek 2.

Na podstawie wykresów możemy stwierdzić, że rozwiązanie dla scenariusza z maksymalnym zyskiem dominuje w sensie FSD pozostałe rozwiązania. Dodatkowo widzimy, że rozwiązanie ze scenariusza 3 dominuje w sensie FSD rozwiązanie scenariusza 2.

\begin{figure}[H]
\centering
%\includegraphics[width=\linewidth]{_page_0_Figure_0.jpeg}
\caption{Wykres dystrybuant zysku dla poszczególnych rozwiązań}
\end{figure}

\end{document}