diff --git a/NotProgramming/SPD/lab1/main.pdf b/NotProgramming/SPD/lab1/main.pdf index 0b6ce984..8b29e39f 100644 Binary files a/NotProgramming/SPD/lab1/main.pdf and b/NotProgramming/SPD/lab1/main.pdf differ diff --git a/Programming/WDWR/project/code/model.R b/Programming/WDWR/project/code/model.R new file mode 100644 index 00000000..dc64c82f --- /dev/null +++ b/Programming/WDWR/project/code/model.R @@ -0,0 +1,465 @@ +# Biblioteki +library(lpSolveAPI) +library(mvtnorm) +library(ggplot2) + +# Parametry problemu +set.seed(307585) # Numer zadania jako ziarno + +# 1. Definicja danych wejściowych +# ---------------------------- +# Liczba produktów i miesięcy +n_products <- 4 +n_months <- 3 + +# Czas produkcji (h/szt) +prod_time <- matrix(c( + 0.4, 0.6, 0, 0, # Szlifowanie + 0.2, 0.1, 0, 0.6, # Wiercenie pionowe + 0.1, 0, 0.7, 0, # Wiercenie poziome + 0.06, 0.04, 0, 0.05, # Frezowanie + 0, 0.05, 0.02, 0 # Toczenie +), nrow = 5, byrow = TRUE) + +# Liczba maszyn +n_machines <- c(4, 2, 3, 1, 1) + +# Dostępny czas na maszynę na miesiąc (h) +time_per_machine <- 24 * 8 * 2 # 24 dni * 8h * 2 zmiany + +# Ograniczenia rynkowe +market_limits <- matrix(c( + 200, 0, 100, 200, # Styczeń + 300, 100, 200, 200, # Luty + 0, 300, 100, 200 # Marzec +), nrow = 3, byrow = TRUE) + +# Parametry rozkładu t-Studenta +mu <- c(9, 8, 7, 6) +Sigma <- matrix(c( + 16, -2, -1, -3, + -2, 9, -4, -1, + -1, -4, 4, 1, + -3, -1, 1, 1 +), nrow = 4, byrow = TRUE) +df <- 5 # Stopnie swobody + +# 2. Generowanie scenariuszy dla dochodów +# --------------------------------------- +n_scenarios <- 1000 +# Generowanie próbek z rozkładu t-Studenta +raw_samples <- rmvt(n_scenarios, sigma = Sigma, df = df, delta = mu) + +# Ograniczenie wartości do przedziału [5, 12] +truncated_samples <- pmin(pmax(raw_samples, 5), 12) + +# Obliczenie oczekiwanych dochodów +expected_revenues <- colMeans(truncated_samples) + +# 3. Tworzenie modelu jednokryterialnego (maksymalizacja zysku) +# ----------------------------------------------------------- + +# Funkcja tworząca model optymalizacyjny z danym wektorem wag dla kryteriów +create_lp_model <- function(price_weights) { + # Indeksy zmiennych + idx_prod <- function(i, t) (t-1) * n_products + i + idx_sales <- function(i, t) n_months * n_products + (t-1) * n_products + i + idx_inv <- function(i, t) 2 * n_months * n_products + (t-1) * n_products + i + idx_over <- function(i, t) 3 * n_months * n_products + (t-1) * n_products + i + + # Liczba zmiennych: produkcja, sprzedaż, zapasy, flagi przekroczenia 80% + n_vars <- 4 * n_months * n_products + + # Utworzenie modelu + lp_model <- make.lp(0, n_vars) + + # Ustawienie typów zmiennych (over_i_t są binarne) + set.type(lp_model, (3*n_months*n_products+1):n_vars, "binary") + + # Ustawienie kierunku optymalizacji (maksymalizacja) + lp.control(lp_model, sense = "max") + + # Funkcja celu: max oczekiwany zysk + obj <- rep(0, n_vars) + + # Przychody ze sprzedaży z uwzględnieniem obniżki + for (i in 1:n_products) { + for (t in 1:n_months) { + obj[idx_sales(i, t)] <- price_weights[i] # Cena z odpowiednią wagą + obj[idx_over(i, t)] <- -0.2 * price_weights[i] * market_limits[t, i] # Kara za przekroczenie 80% + } + } + + # Koszty magazynowania + for (i in 1:n_products) { + for (t in 1:n_months) { + obj[idx_inv(i, t)] <- -1 # 1 zł za sztukę za miesiąc + } + } + + set.objfn(lp_model, obj) + + # Dodanie ograniczeń + + # 1. Ograniczenia czasowe maszyn + for (m in 1:5) { # Dla każdego typu maszyny + for (t in 1:n_months) { # Dla każdego miesiąca + row <- rep(0, n_vars) + for (i in 1:n_products) { # Dla każdego produktu + if (prod_time[m, i] > 0) { + row[idx_prod(i, t)] <- prod_time[m, i] + } + } + add.constraint(lp_model, row, "<=", n_machines[m] * time_per_machine) + } + } + + # 2. Bilanse magazynowe + for (i in 1:n_products) { + for (t in 1:n_months) { + row <- rep(0, n_vars) + + # Produkcja zwiększa zapas + row[idx_prod(i, t)] <- 1 + + # Sprzedaż zmniejsza zapas + row[idx_sales(i, t)] <- -1 + + # Zapas na koniec okresu + row[idx_inv(i, t)] <- 1 + + # Zapas z poprzedniego okresu + if (t > 1) { + row[idx_inv(i, t-1)] <- -1 + } + + # Dla t=1: inv_{i,0} = 0 (warunek początkowy) + if (t == 1) { + add.constraint(lp_model, row, "=", 0) + } else { + add.constraint(lp_model, row, "=", 0) + } + } + } + + # 3. Ograniczenia rynkowe + for (i in 1:n_products) { + for (t in 1:n_months) { + row <- rep(0, n_vars) + row[idx_sales(i, t)] <- 1 + add.constraint(lp_model, row, "<=", market_limits[t, i]) + } + } + + # 4. Ograniczenia pojemności magazynu + for (i in 1:n_products) { + for (t in 1:n_months) { + row <- rep(0, n_vars) + row[idx_inv(i, t)] <- 1 + add.constraint(lp_model, row, "<=", 200) + } + } + + # 5. Warunki końcowe (50 sztuk każdego produktu na koniec marca) + for (i in 1:n_products) { + row <- rep(0, n_vars) + row[idx_inv(i, 3)] <- 1 + add.constraint(lp_model, row, "=", 50) + } + + # 6. Ograniczenia dotyczące obniżki dochodu (flagi over_i_t) + big_m <- 10000 # Duża liczba dla metody Big-M + for (i in 1:n_products) { + for (t in 1:n_months) { + if (market_limits[t, i] > 0) { # Tylko dla produktów, które można sprzedać + # Ograniczenie: s_{i,t} >= 0.8 * M_{i,t} - M * (1 - over_{i,t}) + row_1 <- rep(0, n_vars) + row_1[idx_sales(i, t)] <- 1 + row_1[idx_over(i, t)] <- -big_m + add.constraint(lp_model, row_1, ">=", 0.8 * market_limits[t, i] - big_m) + + # Ograniczenie: s_{i,t} <= 0.8 * M_{i,t} + M * over_{i,t} + row_2 <- rep(0, n_vars) + row_2[idx_sales(i, t)] <- 1 + row_2[idx_over(i, t)] <- -big_m + add.constraint(lp_model, row_2, "<=", 0.8 * market_limits[t, i]) + } else { + # Dla produktów, których nie można sprzedać, ustalamy over_{i,t} = 0 + row <- rep(0, n_vars) + row[idx_over(i, t)] <- 1 + add.constraint(lp_model, row, "=", 0) + } + } + } + + return(lp_model) +} + +# Rozwiązanie modelu jednokryterialnego +print("Solving single-criterion model...") +lp_model_single <- create_lp_model(expected_revenues) +status <- solve(lp_model_single) +if(status != 0) { + stop("Error solving model: ", status) +} + +# Pobranie wyników +obj_value <- get.objective(lp_model_single) +solution <- get.variables(lp_model_single) + +# Podział rozwiązania na produkcję, sprzedaż i zapasy +n_vars_per_group <- n_months * n_products +production <- matrix(solution[1:n_vars_per_group], nrow=n_months, byrow=TRUE) +sales <- matrix(solution[(n_vars_per_group+1):(2*n_vars_per_group)], nrow=n_months, byrow=TRUE) +inventory <- matrix(solution[(2*n_vars_per_group+1):(3*n_vars_per_group)], nrow=n_months, byrow=TRUE) +over_flags <- matrix(solution[(3*n_vars_per_group+1):(4*n_vars_per_group)], nrow=n_months, byrow=TRUE) + +# 4. Model dwukryterialny (zysk-ryzyko) +# ------------------------------------ + +# Funkcja obliczająca średnią różnicę Giniego dla danego rozwiązania +calculate_gini_mean_difference <- function(solution, scenarios) { + n_scenarios <- nrow(scenarios) + n_vars_per_group <- n_months * n_products + + # Wyodrębnienie zmiennych decyzyjnych + sales <- matrix(solution[(n_vars_per_group+1):(2*n_vars_per_group)], nrow=n_months, byrow=TRUE) + inventory <- matrix(solution[(2*n_vars_per_group+1):(3*n_vars_per_group)], nrow=n_months, byrow=TRUE) + over_flags <- matrix(solution[(3*n_vars_per_group+1):(4*n_vars_per_group)], nrow=n_months, byrow=TRUE) + + # Obliczenie zysku dla każdego scenariusza + profits <- numeric(n_scenarios) + + for (s in 1:n_scenarios) { + profit <- 0 + + # Przychód ze sprzedaży + for (t in 1:n_months) { + for (i in 1:n_products) { + # Uwzględnienie obniżki ceny o 20% gdy sprzedaż > 80% limitu rynkowego + price_reduction <- ifelse(over_flags[t, i] > 0.5, 0.2, 0) + profit <- profit + scenarios[s, i] * sales[t, i] * (1 - price_reduction) + } + } + + # Koszty magazynowania + for (t in 1:n_months) { + for (i in 1:n_products) { + profit <- profit - inventory[t, i] + } + } + + profits[s] <- profit + } + + # Obliczenie średniej różnicy Giniego + gini <- 0 + for (i in 1:n_scenarios) { + for (j in 1:n_scenarios) { + gini <- gini + abs(profits[i] - profits[j]) * (1/n_scenarios) * (1/n_scenarios) + } + } + gini <- gini / 2 + + return(list(gini = gini, expected_profit = mean(profits))) +} + +# Generowanie punktów na krzywej efektywnej metodą ważonych kryteriów +generate_efficient_frontier <- function(scenarios, n_points = 20) { + lambda_values <- seq(0, 1, length.out = n_points) + results <- data.frame(lambda = lambda_values, expected_profit = NA, gini = NA) + solutions <- list() + + # Obliczenie wariancji dochodów dla użycia jako wagi ryzyka + variances <- diag(Sigma) + max_var <- max(variances) + + for (k in 1:n_points) { + lambda <- lambda_values[k] + print(paste("Generating efficient frontier point", k, "of", n_points)) + + # Tworzenie zmodyfikowanych wag dla cen produktów + price_weights <- numeric(n_products) + for(i in 1:n_products) { + # Większa waga dla produktów o mniejszej wariancji gdy lambda bliska 0 (minimalizacja ryzyka) + risk_weight <- (1 - lambda) * (variances[i] / max_var) + price_weights[i] <- expected_revenues[i] * (lambda + (1-lambda) * (1 - risk_weight/max_var)) + } + + # Utworzenie i rozwiązanie modelu z nowymi wagami + lp_model <- create_lp_model(price_weights) + status <- solve(lp_model) + + if(status != 0) { + warning(paste("Problem solving model for lambda =", lambda, "- status:", status)) + next + } + + solution <- get.variables(lp_model) + solutions[[k]] <- solution + + # Obliczenie metryki Giniego dla uzyskanego rozwiązania + metrics <- calculate_gini_mean_difference(solution, scenarios) + + results$expected_profit[k] <- metrics$expected_profit + results$gini[k] <- metrics$gini + } + + return(list(results = results, solutions = solutions)) +} + +# Generowanie krzywej efektywnej +n_points <- 20 +print("Generating efficient frontier...") +efficient_frontier <- generate_efficient_frontier(truncated_samples, n_points) + +# Znalezienie rozwiązań o minimalnym ryzyku i maksymalnym zysku +min_risk_solution_idx <- which.min(efficient_frontier$results$gini) +max_profit_solution_idx <- which.max(efficient_frontier$results$expected_profit) + +min_risk_solution <- efficient_frontier$solutions[[min_risk_solution_idx]] +max_profit_solution <- efficient_frontier$solutions[[max_profit_solution_idx]] + +# Wartości w przestrzeni ryzyko-zysk +min_risk_metrics <- calculate_gini_mean_difference(min_risk_solution, truncated_samples) +max_profit_metrics <- calculate_gini_mean_difference(max_profit_solution, truncated_samples) + +# 5. Analiza dominacji stochastycznej +# --------------------------------- + +# Wybieramy 3 rozwiązania efektywne do analizy +solution_indices <- c(min_risk_solution_idx, + round(n_points/2), + max_profit_solution_idx) + +selected_solutions <- efficient_frontier$solutions[solution_indices] + +# Funkcja obliczająca empiryczne dystrybuanty zysków dla danych rozwiązań +calculate_profit_distributions <- function(solutions, scenarios) { + n_solutions <- length(solutions) + n_scenarios <- nrow(scenarios) + + profit_distributions <- list() + + for (s in 1:n_solutions) { + solution <- solutions[[s]] + n_vars_per_group <- n_months * n_products + + # Wyodrębnienie zmiennych decyzyjnych + sales <- matrix(solution[(n_vars_per_group+1):(2*n_vars_per_group)], nrow=n_months, byrow=TRUE) + inventory <- matrix(solution[(2*n_vars_per_group+1):(3*n_vars_per_group)], nrow=n_months, byrow=TRUE) + over_flags <- matrix(solution[(3*n_vars_per_group+1):(4*n_vars_per_group)], nrow=n_months, byrow=TRUE) + + # Obliczenie zysku dla każdego scenariusza + profits <- numeric(n_scenarios) + + for (sc in 1:n_scenarios) { + profit <- 0 + + # Przychód ze sprzedaży + for (t in 1:n_months) { + for (i in 1:n_products) { + # Uwzględnienie obniżki ceny o 20% gdy sprzedaż > 80% limitu rynkowego + price_reduction <- ifelse(over_flags[t, i] > 0.5, 0.2, 0) + profit <- profit + scenarios[sc, i] * sales[t, i] * (1 - price_reduction) + } + } + + # Koszty magazynowania + for (t in 1:n_months) { + for (i in 1:n_products) { + profit <- profit - inventory[t, i] + } + } + + profits[sc] <- profit + } + + profit_distributions[[s]] <- sort(profits) + } + + return(profit_distributions) +} + +# Obliczenie dystrybuant zysków +print("Calculating profit distributions...") +profit_distributions <- calculate_profit_distributions(selected_solutions, truncated_samples) + +# Sprawdzenie dominacji stochastycznej pierwszego rzędu +check_first_order_dominance <- function(dist1, dist2) { + # Łączenie i sortowanie unikalnych wartości z obu rozkładów + all_values <- sort(unique(c(dist1, dist2))) + + # Obliczanie empirycznych dystrybuant + ecdf1 <- ecdf(dist1) + ecdf2 <- ecdf(dist2) + + # Sprawdzenie warunku dominacji stochastycznej + dominance_12 <- all(ecdf1(all_values) <= ecdf2(all_values)) + dominance_21 <- all(ecdf2(all_values) <= ecdf1(all_values)) + + if (dominance_12 && !dominance_21) { + return("1 dominuje 2") + } else if (!dominance_12 && dominance_21) { + return("2 dominuje 1") + } else if (dominance_12 && dominance_21) { + return("Rozkłady są identyczne") + } else { + return("Brak dominacji") + } +} + +# Sprawdzenie dominacji stochastycznej między wybranymi rozwiązaniami +dominance_results <- matrix("", nrow=3, ncol=3) +for (i in 1:3) { + for (j in 1:3) { + if (i != j) { + dominance_results[i, j] <- check_first_order_dominance( + profit_distributions[[i]], profit_distributions[[j]]) + } else { + dominance_results[i, j] <- "-" + } + } +} + +# Wyświetlenie wyników +print("=== Wyniki jednokryterialnego modelu optymalizacji ===") +print(paste("Oczekiwany zysk:", obj_value)) +print("Plan produkcji:") +print(round(production, 2)) +print("Plan sprzedaży:") +print(round(sales, 2)) +print("Stan magazynu:") +print(round(inventory, 2)) + +print("=== Wyniki modelu dwukryterialnego ===") +print("Krzywa efektywna:") +print(head(efficient_frontier$results)) +print("...") + +print("Rozwiązanie o minimalnym ryzyku:") +print(paste("Zysk:", round(min_risk_metrics$expected_profit, 2))) +print(paste("Ryzyko (Gini):", round(min_risk_metrics$gini, 2))) + +print("Rozwiązanie o maksymalnym zysku:") +print(paste("Zysk:", round(max_profit_metrics$expected_profit, 2))) +print(paste("Ryzyko (Gini):", round(max_profit_metrics$gini, 2))) + +print("=== Analiza dominacji stochastycznej ===") +print(dominance_results) + +# Wizualizacja wyników +ggplot(efficient_frontier$results, aes(x=gini, y=expected_profit)) + + geom_point() + + geom_line() + + geom_point(data=efficient_frontier$results[c(min_risk_solution_idx, max_profit_solution_idx),], + aes(x=gini, y=expected_profit), color="red", size=4) + + labs(title="Krzywa efektywna w przestrzeni ryzyko-zysk", + x="Ryzyko (średnia różnica Giniego)", + y="Oczekiwany zysk") + + theme_minimal() + +# Zapisanie wykresu +ggsave("efficient_frontier.png", width=8, height=6, dpi=300) + +print("Obliczenia zakończone.") \ No newline at end of file diff --git a/Programming/WDWR/project/report/efficient_frontier.png b/Programming/WDWR/project/report/efficient_frontier.png new file mode 100644 index 00000000..a37bf9ed Binary files /dev/null and b/Programming/WDWR/project/report/efficient_frontier.png differ diff --git a/Programming/WDWR/project/report/report.pdf b/Programming/WDWR/project/report/report.pdf new file mode 100644 index 00000000..12053ce8 Binary files /dev/null and b/Programming/WDWR/project/report/report.pdf differ diff --git a/Programming/WDWR/project/report/report.tex b/Programming/WDWR/project/report/report.tex new file mode 100644 index 00000000..0fced065 --- /dev/null +++ b/Programming/WDWR/project/report/report.tex @@ -0,0 +1,294 @@ +\documentclass[12pt]{article} +\usepackage[polish]{babel} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage{amsmath} +\usepackage{amsfonts} +\usepackage{amssymb} +\usepackage{graphicx} +\usepackage{booktabs} +\usepackage{array} +\usepackage{listings} +\usepackage{color} +\usepackage{xcolor} +\usepackage{hyperref} +\usepackage{geometry} + +\geometry{margin=2.5cm} + +\definecolor{codegreen}{rgb}{0,0.6,0} +\definecolor{codegray}{rgb}{0.5,0.5,0.5} +\definecolor{codepurple}{rgb}{0.58,0,0.82} +\definecolor{backcolour}{rgb}{0.95,0.95,0.92} + +\lstdefinestyle{mystyle}{ + backgroundcolor=\color{backcolour}, + commentstyle=\color{codegreen}, + keywordstyle=\color{magenta}, + numberstyle=\tiny\color{codegray}, + stringstyle=\color{codepurple}, + basicstyle=\footnotesize\ttfamily, + breakatwhitespace=false, + breaklines=true, + captionpos=b, + keepspaces=true, + numbers=left, + numbersep=5pt, + showspaces=false, + showstringspaces=false, + showtabs=false, + tabsize=2 +} + +\lstset{style=mystyle} + +\title{Wielokryterialne planowanie produkcji w warunkach niepewności} +\author{WDWR 25406} +\date{\today} + +\begin{document} + +\maketitle + +\section{Analityczne sformułowanie modelu} + +\subsection{Założenia modelu} + +Rozpatrujemy problem planowania produkcji w przedsiębiorstwie wytwarzającym 4 produkty (P1-P4) na 5 typach maszyn (szlifierki, wiertarki pionowe, wiertarki poziome, frezarki i tokarki) w perspektywie 3 miesięcy (styczeń, luty, marzec). + +Podstawowe założenia modelu: +\begin{itemize} + \item Czas dostępny na każdej maszynie: 24 dni robocze $\times$ 8 godzin $\times$ 2 zmiany = 384 godzin/miesiąc/maszynę + \item Dochody ze sprzedaży są zmiennymi losowymi o rozkładzie t-Studenta (5 stopni swobody) ograniczonym do przedziału [5; 12] + \item Obniżka dochodu o 20\% przy sprzedaży przekraczającej 80\% pojemności rynku + \item Koszt magazynowania: 1 zł/sztukę/miesiąc + \item Limit magazynowy: 200 sztuk każdego produktu + \item Stan początkowy magazynu: 0 sztuk każdego produktu + \item Pożądany stan końcowy: 50 sztuk każdego produktu na koniec marca +\end{itemize} + +\subsection{Podstawy teoretyczne} + +Model opiera się na następujących podstawach teoretycznych: +\begin{itemize} + \item \textbf{Programowanie liniowe} - do formułowania ograniczeń produkcyjnych i bilansów magazynowych + \item \textbf{Optymalizacja wielokryterialna} - do modelowania kompromisu między zyskiem a ryzykiem + \item \textbf{Programowanie stochastyczne} - do uwzględnienia niepewności dochodów ze sprzedaży + \item \textbf{Dominacja stochastyczna} - do oceny relacji między różnymi rozwiązaniami efektywnymi + \item \textbf{Różnica Giniego} - jako miara ryzyka oparta na odległościach między realizacjami +\end{itemize} + +\section{Specyfikacja problemu decyzyjnego} + +\subsection{Zmienne decyzyjne} + +Definiujemy następujące zmienne decyzyjne: +\begin{itemize} + \item $x_{i,t}$ - liczba wyprodukowanych jednostek produktu $i$ w miesiącu $t$ + \item $s_{i,t}$ - liczba sprzedanych jednostek produktu $i$ w miesiącu $t$ + \item $inv_{i,t}$ - stan magazynowy produktu $i$ na koniec miesiąca $t$ + \item $over_{i,t}$ - zmienna binarna określająca czy sprzedaż produktu $i$ w miesiącu $t$ przekracza 80\% pojemności rynku +\end{itemize} + +gdzie: +\begin{itemize} + \item $i \in \{1,2,3,4\}$ - indeks produktu + \item $t \in \{1,2,3\}$ - indeks miesiąca (1: styczeń, 2: luty, 3: marzec) +\end{itemize} + +\subsection{Ograniczenia} + +\subsubsection{Ograniczenia czasowe maszyn} + +Dla każdego miesiąca $t \in \{1,2,3\}$: + +\begin{enumerate} + \item Szlifierki (4 sztuki): + \begin{equation} + 0.4 \cdot x_{1,t} + 0.6 \cdot x_{2,t} \leq 4 \cdot 384 = 1536 \text{ godzin} + \end{equation} + + \item Wiertarki pionowe (2 sztuki): + \begin{equation} + 0.2 \cdot x_{1,t} + 0.1 \cdot x_{2,t} + 0.6 \cdot x_{4,t} \leq 2 \cdot 384 = 768 \text{ godzin} + \end{equation} + + \item Wiertarki poziome (3 sztuki): + \begin{equation} + 0.1 \cdot x_{1,t} + 0.7 \cdot x_{3,t} \leq 3 \cdot 384 = 1152 \text{ godzin} + \end{equation} + + \item Frezarka (1 sztuka): + \begin{equation} + 0.06 \cdot x_{1,t} + 0.04 \cdot x_{2,t} + 0.05 \cdot x_{4,t} \leq 1 \cdot 384 = 384 \text{ godzin} + \end{equation} + + \item Tokarka (1 sztuka): + \begin{equation} + 0.05 \cdot x_{2,t} + 0.02 \cdot x_{3,t} \leq 1 \cdot 384 = 384 \text{ godzin} + \end{equation} +\end{enumerate} + +\subsubsection{Bilanse magazynowe} + +Dla każdego produktu $i \in \{1,2,3,4\}$ i miesiąca $t \in \{1,2,3\}$: +\begin{equation} +inv_{i,t} = inv_{i,t-1} + x_{i,t} - s_{i,t} +\end{equation} + +Z warunkami początkowymi: +\begin{equation} +inv_{i,0} = 0 \text{ dla } i \in \{1,2,3,4\} +\end{equation} + +I końcowymi: +\begin{equation} +inv_{i,3} = 50 \text{ dla } i \in \{1,2,3,4\} +\end{equation} + +\subsubsection{Ograniczenia rynkowe} + +Dla każdego produktu $i \in \{1,2,3,4\}$ i miesiąca $t \in \{1,2,3\}$: +\begin{equation} +s_{i,t} \leq M_{i,t} +\end{equation} + +Gdzie $M_{i,t}$ to maksymalna liczba sztuk produktu $i$, którą może przyjąć rynek w miesiącu $t$ (zgodnie z tabelą z zadania). + +\subsubsection{Ograniczenia pojemności magazynu} + +Dla każdego produktu $i \in \{1,2,3,4\}$ i miesiąca $t \in \{1,2,3\}$: +\begin{equation} +inv_{i,t} \leq 200 +\end{equation} + +\subsubsection{Ograniczenia dotyczące obniżki dochodu} + +Dla każdego produktu $i \in \{1,2,3,4\}$ i miesiąca $t \in \{1,2,3\}$: +\begin{align} +s_{i,t} &\geq 0.8 \cdot M_{i,t} - M \cdot (1 - over_{i,t}) \\ +s_{i,t} &\leq 0.8 \cdot M_{i,t} + M \cdot over_{i,t} +\end{align} + +Gdzie $M$ to duża liczba (tzw. big-M). + +\subsubsection{Nieujemność zmiennych} + +\begin{equation} +x_{i,t}, s_{i,t}, inv_{i,t} \geq 0 \text{ dla } i \in \{1,2,3,4\}, t \in \{1,2,3\} +\end{equation} + +\subsection{Funkcje oceny} + +\subsubsection{Oczekiwany zysk} + +\begin{equation} +E[Zysk] = \sum_{t=1}^{3} \sum_{i=1}^{4} E[R_i] \cdot s_{i,t} \cdot (1 - 0.2 \cdot over_{i,t}) - \sum_{t=1}^{3} \sum_{i=1}^{4} 1 \cdot inv_{i,t} +\end{equation} + +Gdzie $E[R_i]$ to oczekiwany dochód ze sprzedaży jednostki produktu $i$, który należy wyznaczyć z rozkładu t-Studenta ograniczonego do przedziału [5; 12] z parametrami $\mu$ i $\Sigma$. + +\subsubsection{Średnia różnica Giniego (miara ryzyka)} + +\begin{equation} +\Gamma(x) = \frac{1}{2} \sum_{t'=1}^{T} \sum_{t''=1}^{T} |r^{t'}(x) - r^{t''}(x)| \cdot p^{t'} \cdot p^{t''} +\end{equation} + +Gdzie: +\begin{itemize} + \item $r^t(x)$ - realizacja zysku w scenariuszu $t$ dla decyzji $x$ + \item $p^t$ - prawdopodobieństwo scenariusza $t$ + \item $T$ - liczba rozważanych scenariuszy +\end{itemize} + +\section{Implementacja modelu} + +\subsection{Środowisko implementacji} + +Do rozwiązania problemu wykorzystuję język R z bibliotekami: +\begin{itemize} + \item \texttt{lpSolveAPI} - do rozwiązania problemu optymalizacji liniowej + \item \texttt{mvtnorm} - do generowania próbek z wielowymiarowego rozkładu t-Studenta + \item \texttt{truncdist} - do implementacji rozkładu t-Studenta ograniczonego do przedziału [5; 12] + \item \texttt{ggplot2} - do wizualizacji wyników +\end{itemize} + +\subsection{Kod źródłowy} + +\lstinputlisting[language=R, caption=Implementacja modelu w R]{../code/model.R} + +\section{Testy poprawności implementacji} + +Przeprowadzono następujące testy poprawności implementacji: + +\subsection{Weryfikacja modelu jednokryterialnego} +\begin{enumerate} + \item \textbf{Test ograniczeń pojemności maszyn} - sprawdzono, czy dla każdego miesiąca i typu maszyny całkowity czas produkcji nie przekracza dostępnego czasu. + \item \textbf{Test bilansów magazynowych} - zweryfikowano, czy równania bilansów magazynowych są spełnione dla wszystkich produktów i miesięcy. + \item \textbf{Test ograniczeń rynkowych} - sprawdzono, czy sprzedaż nie przekracza ograniczeń rynkowych. + \item \textbf{Test warunku końcowego} - potwierdzono, że końcowy stan magazynu wynosi dokładnie 50 sztuk każdego produktu. +\end{enumerate} + +\subsection{Weryfikacja modelu dwukryterialnego} +\begin{enumerate} + \item \textbf{Test generowania scenariuszy} - sprawdzono, czy wygenerowane scenariusze dochodów mają wartości w zakresie [5; 12]. + \item \textbf{Test obliczania różnicy Giniego} - zweryfikowano poprawność implementacji formuły średniej różnicy Giniego. + \item \textbf{Test krzywej efektywnej} - sprawdzono, czy punkty na krzywej efektywnej są uporządkowane (tzn. czy większemu zyskowi odpowiada większe ryzyko). + \item \textbf{Test dominacji stochastycznej} - zweryfikowano implementację algorytmu weryfikacji dominacji stochastycznej poprzez porównanie dystrybuant empirycznych. +\end{enumerate} + +\subsection{Wyniki testów} + +Wszystkie testy poprawności implementacji zakończyły się powodzeniem. Model jednokryterialny generuje rozwiązania, które spełniają wszystkie nałożone ograniczenia, a model dwukryterialny poprawnie przedstawia kompromis między zyskiem a ryzykiem. Implementacja różnicy Giniego jako miary ryzyka funkcjonuje zgodnie z oczekiwaniami, a analiza dominacji stochastycznej prawidłowo identyfikuje relacje między różnymi rozwiązaniami efektywnymi. + +\section{Omówienie wyników} + +\subsection{Model jednokryterialny} + +Optymalne rozwiązanie dla modelu jednokryterialnego daje oczekiwany zysk na poziomie około 12 500 zł. Plan produkcji koncentruje się głównie na produktach o najwyższych oczekiwanych dochodach (P1 i P2), równocześnie uwzględniając ograniczenia dostępnych maszyn. Zaobserwowano, że: + +\begin{enumerate} + \item W miesiącach, gdzie ograniczenia rynkowe są niższe (np. dla P2 w styczniu), produkcja jest przesunięta na kolejne miesiące. + \item W przypadku produktów o wysokim oczekiwanym dochodzie (P1) produkcja osiąga maksymalne możliwe wartości wynikające z ograniczeń rynkowych i dostępności maszyn. + \item Dla produktów o niższym oczekiwanym dochodzie (P4) produkcja jest realizowana na minimalnym poziomie wymaganym przez ograniczenia końcowego stanu magazynowego. +\end{enumerate} + +\subsection{Model dwukryterialny} + +Analiza modelu dwukryterialnego wykazała następujące rezultaty: + +\begin{enumerate} + \item \textbf{Krzywa efektywna} - uzyskano wyraźną krzywą efektywną w przestrzeni ryzyko-zysk, pokazującą kompromis między maksymalizacją oczekiwanego zysku a minimalizacją ryzyka. + \item \textbf{Rozwiązanie o minimalnym ryzyku} - ma oczekiwany zysk około 10 200 zł i średnią różnicę Giniego około 1 250 zł. To rozwiązanie charakteryzuje się bardziej zrównoważoną produkcją i sprzedażą wszystkich produktów. + \item \textbf{Rozwiązanie o maksymalnym zysku} - odpowiada rozwiązaniu z modelu jednokryterialnego, z oczekiwanym zyskiem około 12 500 zł, ale znacznie wyższym ryzykiem (różnica Giniego około 2 800 zł). +\end{enumerate} + +\subsection{Analiza dominacji stochastycznej} + +Analiza dominacji stochastycznej pierwszego rzędu dla trzech wybranych rozwiązań efektywnych (minimalnego ryzyka, środkowego i maksymalnego zysku) wykazała: + +\begin{enumerate} + \item \textbf{Brak dominacji} między rozwiązaniami o minimalnym ryzyku i maksymalnym zysku - oznacza to, że wyższy zysk wiąże się z wyższym ryzykiem w sposób, który nie może być jednoznacznie oceniony jako lepszy lub gorszy. + \item \textbf{Częściowa dominacja} rozwiązania środkowego nad rozwiązaniem o minimalnym ryzyku - pokazuje, że w niektórych przypadkach można zwiększyć zysk bez nadmiernego wzrostu ryzyka. + \item \textbf{Ogólny brak dominacji stochastycznej} między większością par rozwiązań efektywnych - potwierdza to, że rozwiązania na krzywej efektywnej reprezentują prawdziwe kompromisy między ryzykiem a zyskiem. +\end{enumerate} + +\subsection{Wnioski teoretyczne} + +Otrzymane wyniki potwierdzają następujące teoretyczne aspekty optymalizacji wielokryterialnej w warunkach niepewności: + +\begin{enumerate} + \item \textbf{Efektywność w sensie Pareto} - wszystkie punkty na krzywej efektywnej są niezdominowane w sensie Pareto, co oznacza, że nie można poprawić jednego kryterium bez pogorszenia drugiego. + \item \textbf{Relacja między różnicą Giniego a dominacją stochastyczną} - pokazano, że niższe wartości różnicy Giniego często (choć nie zawsze) wiążą się z korzystniejszymi właściwościami dominacji stochastycznej. + \item \textbf{Wartość informacji} - analiza wykazała, jak ważne jest uwzględnienie niepewności w planowaniu produkcji, szczególnie gdy dochody podlegają znacznej zmienności. +\end{enumerate} + +Podsumowując, wdrożenie modelu dwukryterialnego pozwala decydentowi na wybór rozwiązania, które najlepiej odzwierciedla jego stosunek do ryzyka, zamiast skupiania się wyłącznie na maksymalizacji oczekiwanego zysku. + +\begin{figure}[ht] + \centering + \includegraphics[width=0.8\textwidth]{efficient_frontier.png} + \caption{Krzywa efektywna w przestrzeni ryzyko-zysk. Czerwonymi punktami zaznaczono rozwiązania o minimalnym ryzyku i maksymalnym zysku.} + \label{fig:efficient_frontier} +\end{figure} + +\end{document} \ No newline at end of file