| 2 | Jednokryterialny model wyboru w warunkach ryzyka z wartością oczekiwaną jako miarą<br>zysku<br>2.1<br>Zbiory indeksowe<br>.<br>2.2<br>Parametry<br>2.3<br>Zmienne<br>2.4<br>Ograniczenia<br>.<br>2.5<br>Funkcja celu | 3<br>3<br>3<br>4<br>4<br>4 |
| 3 | Dwukryterialny model zysku i ryzyka z wartoscią oczekiwaną jako miarą zysku i od<br>chyleniem maksymalnym jako miarą ryzyka<br>3.1<br>Zbiory indeksowe<br>.<br>3.2<br>Parametry<br>3.3<br>Zmienne<br>3.4<br>Ograniczenia<br>.<br>3.5<br>Metoda punktu odniesienia<br>. | 5<br>5<br>5<br>5<br>5<br>6 |
| 4 | Wyznaczenie parametrów zadania z rozkładu t-Studenta | 6 |
| 5 | Model dla programu AMPL<br>5.1<br>Plik z modelem (.mod)<br>5.2<br>Plik z danymi (.dat)<br>5.3<br>Skrypty uruchomieniowe (.run) | 8<br>8<br>11<br>14 |
| 6 | Rozwiązanie zadania optymalizacji<br>6.1<br>Wyniki dla modelu jednokryterialnego<br>.<br>6.2<br>Wyniki dla modelu dwukryterialnego<br>6.2.1<br>Obraz zbioru rozwiązań efektywnych w przestrzeni ryzyko-zysk<br>.<br>6.2.2<br>Analiza relacji dominacji stochastycznej dla trzech wybranych rozwiązań efek<br>tywnych | 16<br>16<br>19<br>19<br>21 |
• Przedsiębiorstwo wytwarza 4 produkty P1,. . . ,P4 na następujących maszynach: 4 szlifierkach, 2 wiertarkach pionowych, 3 wiertarkach poziomych, 1 frezarce i 1 tokarce. Wymagane czasy produkcji 1 sztuki produktu (w godzinach) w danym procesie obróbki zostały przedstawione w poniższej tabeli:
| | P1 | P2 | P3 | P4 |
|-------------------|------|------|------|------|
| Szlifowanie | 0,4 | 0,6 | — | — |
| Wiercenie pionowe | 0,2 | 0,1 | — | 0,6 |
| Wiercenie poziome | 0,1 | — | 0,7 | — |
| Frezowanie | 0,06 | 0,04 | — | 0,05 |
| Toczenie | — | 0,05 | 0,02 | — |
• Dochody ze sprzedaży produktów (w zł/sztukę) określają składowe wektora losowego **R** = (*R*1*, . . . , R*4) *T* . Wektor losowy **R** opisuje 4-wymiarowy rozkład *t*-Studenta z 5 stopniami swobody, którego wartości składowych zostały zawężone do przedziału [5; 12]. Parametry *µ* oraz **Σ** niezawężonego rozkładu *t*-Studenta są następujące:
• Istnieją ograniczenia rynkowe na liczbę sprzedawanych produktów w danym miesiącu:
| | P1 | P2 | P3 | P4 |
|---------|-----|-----|-----|-----|
| Styczeń | 200 | 0 | 100 | 200 |
| Luty | 300 | 100 | 200 | 200 |
| Marzec | 0 | 300 | 100 | 200 |
- Jeżeli w danym miesiącu jest sprzedawany produkt P1 lub P2, to musi być również sprzedawany produkt P4 w ilości nie mniejszej niż suma sprzedawanych produktów P1 i P2.
- Istnieje możliwość składowania do 200 sztuk każdego produktu w danym czasie w cenie 1 zł/sztukę za miesiąc. Aktualnie firma nie posiada żadnych zapasów, ale jest pożądane mieć po 50 sztuk każdego produktu pod koniec marca.
- Przedsiębiorstwo pracuje 6 dni w tygodniu w systemie dwóch zmian. Każda zmiana trwa 8 godzin. Można założyć, że każdy miesiąc składa się z 24 dni roboczych.
- 1. Zaproponować jednokryterialny model wyboru w warunkach ryzyka z wartością oczekiwaną jako miarą zysku. Wyznaczyć rozwiązanie optymalne.
- 2. Jako rozszerzenie powyższego zaproponować dwukryterialny model zysku i ryzyka z wartością oczekiwaną jako miarą zysku i odchyleniem maksymalnym jako miarą ryzyka. Dla decyzji **x***∈ Q* odchylenie maksymalne jest definiowane jako *D*(**x**) = max*t*=1*,...,T |µ*(**x**) *− rt*(**x**)*|*, gdzie *µ*(**x**) oznacza wartość oczekiwaną, *rt*(**x**) realizację dla scenariusza *t*.
- a. Wyznaczyć obraz zbioru rozwiązań efektywnych w przestrzeni ryzyko–zysk.
- b. Wskazać rozwiązania efektywne minimalnego ryzyka i maksymalnego zysku. Jakie odpowiadają im wartości w przestrzeni ryzyko–zysk?
- c. Wybrać trzy dowolne rozwiązania efektywne. Sprawdzić czy zachodzi pomiędzy nimi relacja dominacji stochastycznej pierwszego rzędu. Wyniki skomentować, odnieść do ogólnego przypadku.
## **2 Jednokryterialny model wyboru w warunkach ryzyka z wartością oczekiwaną jako miarą zysku**
W celu rozwiązania postawionego zadania dokonano sformułowania modelu programowania liniowego całkowitoliczbowego. Poniżej przedstawiono zapis matematyczny modelu.
Do obliczenia wartości oczekiwanej oraz wyznaczenia scenariuszy wykorzystano skrypt napisany w języku *R*. Wygenerowano 1000 scenariuszy testowtych. Użyty skrypt przedstawia Listing 1.
Listing 1: Skrypt w języku *R* do obliczania wartości oczekiwanej wektora *R* i generowania scenariuszy z rozkładu t-Studenta.
```
1 library ( tmvtnorm )
2
3 # t- Stutdet parameters
4 Mu = c(9 , 8 , 7 , 6)
5 Sigma = matrix (c(16 , -2 , -1 , -3 ,
6 -2 , 9 , -4 , -1 ,
7 -1 , -4 , 4 , 1 ,
8 -3 , -1 , 1 , 1) ,
9 nrow =4 , ncol =4)
10 lower _ bound = 5
11 upper _ bound = 12
12
13 # Generate scenarios
14 data <-rtmvt(n =10000,mean =mu,sigma =sigma,df =5,lower =rep(lower_←-
bound , 4) , upper =rep ( upper _bound , 4) )
15 write . table ( format (data , digits =15 , drop0trailing = F ) , " data10000 .txt"←-
, quote =F , sep ="\t", eol ="\n\t", col . names = F , row . names = T )
16 mean <-colMeans(data)
17
18 E <-function(idx,Mu,Sigma,v,alfa,beta){
19 mu = Mu [ idx ]
20 sigma = Sigma [ idx , idx ]
21 a = ( alfa - mu )/ sigma
22 b = ( beta - mu )/ sigma
23 nom = gamma (( v -1)/2) *
24 (( v + a ^2) ^( -1*(v -1) /2) -
25 ( v + b ^2) ^( -1*(v -1)/2) ) *
26 v ^( v/2)
27 den = 2 * (pt(b , v ) - pt(a , v ) ) * gamma ( v/2) * gamma (1/2)
28 return ( mu + sigma *( nom /den ) )
29 }
30
31 ER1 <-E(1,Mu,Sigma,5,5,12)
32 ER2 <-E(2,Mu,Sigma,5,5,12)
33 ER3 <-E(3,Mu,Sigma,5,5,12)
34 ER4 <-E(4,Mu,Sigma,5,5,12)
```
```
45
46 # Aktualny stan magazynowy [szt]
47 param startingStorage { PRODUCTS } >= 0;
48
49 # Pozadany stan magazynowy na koniec symulacji [szt]
<spanid="page-0-1"></span>Rysunek 1: Obraz zbioru rozwiązań efektywnych w przestrzeni ryzyko-zysk
## **6.2 Wyniki dla modelu dwukryterialnego**
## **6.2.1 Obraz zbioru rozwiązań efektywnych w przestrzeni ryzyko-zysk**
Obraz zbioru rozwiązań efektywnch w przestrzeni ryzyko-zysk został uzyskany poprzez rozwiązanie zadania metody punktu odniesienia dla różnych wartości aspiracji dla zysku oraz ryzyka. Do wykonania obliczeń posłużono się skryptem przedstawionym na [Listing 7.](#page--1-0) Obliczenia przeprowadzono ustalając poziomy aspiracji w wyznaczonych granicach zmienności zysku i ryzyka (wektory nadiru i utopii wyznaczone w kolejnej sekcji). Dla każdego poziomu aspiracji wykorzystano po 10 równoodległych wartości znajdujących się w przedziałach definiowanych przez wektory nadiru i utopii.
Ze względu na duży rozmiar zadania, a przez długi czas obliczeń przy 1000 scenariuszach, zdecydowano się ograniczyć ich liczbę do 50. Niestety nie jest to liczba wystarczająca do przeprowadzenia dokładnych obliczeń, jednak uzyskane wyniki powinny być wystarczające do przedstawienia działania metody.
Fragment wyników działania skryptu obliczeniowego przedstawia [Listing 8.](#page-0-0) Obraz zbioru rozwiązań efektywnych w przestrzeni ryzyko-zysk pokazuje [Rysunek 1.](#page-0-1)
<spanid="page-0-0"></span>Listing 8: Skrypt obliczający wartości do wyznaczenia obrazu zbioru rozwiązań efektywnych w przestrzeni ryzyko-zysk. Pełne wyniki dostępne w załączniku.
```
1 ### 39: Solving model for aspirations : 2395 .666667 , 312 .777778
2 CPLEX 12 .8.0.0 : optimal integer solution within mipgap or absmipgap ; ←-
Rozwiązania efektywne minimalnego ryzyka i maksymalnego zysku
Rozwiązania efektywne dla minimalnego ryzyka i maksymalnego zysku wyznaczono wykorzystując skrypt przedstawiony na listingu [Listing 4.](#page--1-0) Na podstwaie wyników jego działania, które przedstawia [Listing 9](#page-0-0) można podać następujące rozwiązania:
- Minimalne ryzyko: *ep* = *−*1000, przy *r* = 0,
- Maksymalny zysk: *ep* = 11987, przy *r* = 2569
Dodatkowo poza zakresem zadania wyznaczonon pozostałe elementy potrzebne do wyznaczenia wektorów nadiru i utopii:
- Maksymalne ryzyko: *ep* = 9193, przy *r* = 2815,
- Minimalny zysk: *ep* = *−*2400*.*00, przy *r* = 0*.*00
```
Wektor nadiru: (−2400, 2815)
```
Wektor utopii: (0*,* 11987)
Listing 9: Skrypt wyznaczający rozwiązania optymalne modelu dwukryterialnego.
Dane do analizy zostały wygenerowane w trakcie przeprowadzania obliczeń do poprzednich podpunktów i są dostępne w załącznikach.
Dystrybuanty zysku przedstawia [Rysunek 2.](#page--1-0)
Na podstawie wykresów możemy stwierdzić, że rozwiązanie dla scenariusza z maksymalnym zyskiem dominuje w sensie FSD pozostałe rozwiązania. Dodatkowo widzimy, że rozwiązanie ze scenariusza 3 dominuje w sensie FSD rozwiązanie scenariusza 2.
Rysunek 2: Wykres dystrybuant zysku dla poszczególnych rozwiązań
