\item Istnieje możliwość składowania do 200 sztuk każdego produktu w danym czasie w cenie 1 zł/sztukę za miesiąc. Aktualnie firma nie posiada żadnych zapasów, ale jest pożądane mieć po 50 sztuk każdego produktu pod koniec marca.
\item Przedsiębiorstwo pracuje 6 dni w tygodniu w systemie dwóch zmian. Każda zmiana trwa 8 godzin. Można założyć, że każdy miesiąc składa się z 24 dni roboczych.
\item 1. Zaproponować jednokryterialny model wyboru w warunkach ryzyka z wartością oczekiwaną jako miarą zysku. Wyznaczyć rozwiązanie optymalne.
\item 2. Jako rozszerzenie powyższego zaproponować dwukryterialny model zysku i ryzyka z wartością średnią jako miarą zysku i średnią różnicą Giniego jako miarą ryzyka. Dla decyzji $\mathbf{x}\in Q$ średnia różnica Giniego jest definiowana jako $\Gamma(\mathbf{x})=\frac{1}{2}\sum_{t'=1}^{T}\sum_{t''=1}^{T} |r^{t'}(\mathbf{x})- r^{t''}(\mathbf{x})|p^{t'}p^{t''}$, gdzie $r^t(\mathbf{x})$ oznacza realizację dla scenariusza $t$, $p^t$ prawdopodobieństwo scenariusza $t$.
\item a. Wyznaczyć obraz zbioru rozwiązań efektywnych w przestrzeni ryzyko–zysk.
\item b. Wskazać rozwiązania efektywne minimalnego ryzyka i maksymalnego zysku. Jakie odpowiadają im wartości w przestrzeni ryzyko–zysk?
\item c. Wybrać trzy dowolne rozwiązania efektywne. Sprawdzić czy zachodzi pomiędzy nimi relacja dominacji stochastycznej pierwszego rzędu. Wyniki skomentować, odnieść do ogólnego przypadku.
\end{itemize}
\end{itemize}
\section{Jednokryterialny model wyboru w warunkach ryzyka z wartością oczekiwaną jako miarą zysku}
W celu rozwiązania postawionego zadania dokonano sformułowania modelu programowania liniowego całkowitoliczbowego. Poniżej przedstawiono zapis matematyczny modelu.
$eppu_{mp}= eppu_p \cdot(1-0.2\cdot b_{mp})$& Skorygowany zysk jednostkowy dla produktu $p$ w miesiącu $m$ uwzględniający spadek o 20\% jeśli sprzedaż przekracza 80\% limitu rynkowego [zł] \\
\hline
$ep =\sum\limits_{m \in M}\sum\limits_{p \in P}(s_{mp}\cdot eppu_{mp})- tstc$& Wartość zysku całkowitego dla wartości oczekiwanych zysku ze sprzedaży produktów [zł] \\
$sp_s =\sum_{p \in P}(ts_p \cdot sppu_{ps})- tstc$& Wartość zysku całkowitego dla scenariusza $s$ zysku ze sprzedaży produktów [zł] \\
\hline
$dev_s = ep - sp_s$& Odchylenie zysku w danym scenariuszu [zł]. Jako, że funkcja wartości bezwzględnej jest nieliniowa zmienna została poddana linearyzacji z użyciem zmiennych $ldev_s$, $P_s$, $Q_s$\\
\hline
$ldev_s = ep - sp_s$& Zmienna pomocnicza wykorzystana w linearyzacji odchylenia zysku w scenariuszu $s$\\
\hline
$P_s$& Zmienna pomocnicza wykorzystana w linearyzacji zmiennejk $dev_s$\\
\hline
$Q_s$& Zmienna pomocnicza wykorzystana w linearyzacji zmiennej $dev_s$\\
\hline
$mdev =\max_{s \in S} dev_s$& Maksymalne odchylenie zysu [zł]. Jako, że funkcja max jest nie liniowa, zmienna została poddana linearyzacji z użyciem zmiennych $M$, $Z_s$\\
\hline
$M$& Zmienna pomocnicza wykorzystana w linearyzacji zmiennej $mdev$\\
\hline
$Z_s$& Zmienna pomocnicza binarna wykorzystana w linearyzacji zmiennej $mdev$\\
$asp_{ep}$& Poziom aspiracji oczekiwanego zysku \\
\hline
$asp_r$& Poziom aspiracji ryzyka \\
\hline
$\lambda_{ep}$, $\lambda_r$& Współczynniki normalizujące, odpowiednio dla zysku i ryzyka. Ze względu na ogólne sformułowanie metody punktu odniesienia jako problemu maksymalizacji, $\lambda_{ep}$ przyjmie wartość dodatnią, a $\lambda_r$ ujemną. \\
\hline
$\beta$& Współczynnik pomniejszający wartość ocen wykraczających powyżej poziomu aspiracji \\
Do obliczenia wartości oczekiwanej oraz wyznaczenia scenariuszy wykorzystano skrypt napisany w języku $R$. Wygenerowano 100 scenariuszy testowtych. Użyty skrypt przedstawia Listing 1.
\caption{Obraz zbioru rozwiązań efektywnych w przestrzeni ryzyko-zysk}
\label{fig:solutions}
\end{figure}
\subsection{Wyniki dla modelu dwukryterialnego}
\subsubsection{Obraz zbioru rozwiązań efektywnych w przestrzeni ryzyko-zysk}
Obraz zbioru rozwiązań efektywnch w przestrzeni ryzyko-zysk został uzyskany poprzez rozwiązanie zadania metody punktu odniesienia dla różnych wartości aspiracji dla zysku oraz ryzyka. Do wykonania obliczeń posłużono się skryptem przedstawionym na Listing 7. Obliczenia przeprowadzono ustalając poziomy aspiracji w wyznaczonych granicach zmienności zysku i ryzyka (wektory nadiru i utopii wyznaczone w kolejnej sekcji). Dla każdego poziomu aspiracji wykorzystano po 10 równoodległych wartości znajdujących się w przedziałach definiowanych przez wektory nadiru i utopii.
Ze względu na duży rozmiar zadania, a przez długi czas obliczeń przy 1000 scenariuszach, zdecydowano się ograniczyć ich liczbę do 50. Niestety nie jest to liczba wystarczająca do przeprowadzenia dokładnych obliczeń, jednak uzyskane wyniki powinny być wystarczające do przedstawienia działania metody.
Fragment wyników działania skryptu obliczeniowego przedstawia Listing 8. Obraz zbioru rozwiązań efektywnych w przestrzeni ryzyko-zysk pokazuje Rysunek 1.
Listing 8: Skrypt obliczający wartości do wyznaczenia obrazu zbioru rozwiązań efektywnych w przestrzeni ryzyko-zysk. Pełne wyniki dostępne w załączniku.
\begin{verbatim}
1 ### 39: Solving model for aspirations : 2395 .666667 , 312 .777778
2 CPLEX 12 .8.0.0 : optimal integer solution within mipgap or absmipgap ; ←-
Rozwiązania efektywne minimalnego ryzyka i maksymalnego zysku
Rozwiązania efektywne dla minimalnego ryzyka i maksymalnego zysku wyznaczono wykorzystując skrypt przedstawiony na listingu Listing 4. Na podstwaie wyników jego działania, które przedstawia Listing 9 można podać następujące rozwiązania:
\begin{itemize}
\item Minimalne ryzyko: $ep =-1000$, przy $r =0$,
\item Maksymalny zysk: $ep =11987$, przy $r =2569$
\end{itemize}
Dodatkowo poza zakresem zadania wyznaczonon pozostałe elementy potrzebne do wyznaczenia wektorów nadiru i utopii:
\begin{itemize}
\item Maksymalne ryzyko: $ep =9193$, przy $r =2815$,
\item Minimalny zysk: $ep =-2400.00$, przy $r =0.00$
\end{itemize}
$$\text{Wektor nadiru: }(-2400, 2815)$$
Wektor utopii: $(0, 11987)$
Listing 9: Skrypt wyznaczający rozwiązania optymalne modelu dwukryterialnego.
\subsubsection{Analiza relacji dominacji stochastycznej dla trzech wybranych rozwiązań efektywnych}
Do analizy wybrano następujące scenariusze:
\begin{enumerate}
\item Maksymalny zysk $ep =11987.42$,
\item Poziomy aspiracji $aspep =8789.89$ oraz $asp^r =1876.67$,
\item Poziomy aspiracji $aspep =10388.44$ oraz $asp^r =938.33$.
\end{enumerate}
Dane do analizy zostały wygenerowane w trakcie przeprowadzania obliczeń do poprzednich podpunktów i są dostępne w załącznikach.
Dystrybuanty zysku przedstawia Rysunek 2.
Na podstawie wykresów możemy stwierdzić, że rozwiązanie dla scenariusza z maksymalnym zyskiem dominuje w sensie FSD pozostałe rozwiązania. Dodatkowo widzimy, że rozwiązanie ze scenariusza 3 dominuje w sensie FSD rozwiązanie scenariusza 2.
